第七章 微专题八 立体几何中轨迹、翻折、探索性问题-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案（人教A版）

hh C 八 立体几何中轨迹、翻折、探索性问题 命题角度1 动态轨迹问题 【典例1】 (1)(2022·广东茂名调研)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,AP=2,点 M 是矩形ABCD 内(含边界)的动点,且 AB=1,AD=3,直线PM 与平面ABCD 所 成的角为π 4. 记点 M 的轨迹长度为α,则 tan α= ( ) A.33 B.1 C.3 D.2 (2)(2022·福建福州第一中学三模)在三棱锥 P-ABC 中,AP ⊥ 平面 PBC,PB ⊥PC, PA=PC=2PB=4,则三棱锥P-ABC外接 球的表面积为 ;若动点 M 在该三 棱锥外接球上,且 ∠MPB =∠MPC,则点 M 的轨迹长为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 根据空间位置关系和解析几何的思想,将动点 的运动轨迹转化到平面中,再看动点满足什么样的 几何特征,确定其曲线类型即可解决问题. 【对点训练1】 (1)(2022·福建三明一中检测) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=23, 点E 为平面A1BD 内的动点,设直线AE 与 平面A1BD 所成的角为α,若sin α= 25 5 ,则 点E 的轨迹所围成的面积为 . (2)(2022·湖南师大附中三模)已知棱长为3的 正四面体ABCD,E 为AD 的中点,动点P 满足PA=2PD,平面α 经过点D,且平面 α∥平面BCE,则平面α截点P 的轨迹所形 成的图形的周长为 . 命题角度2 翻折问题 【典例2】 (2022·海南琼海三模)平行四边形 ABCD 中(如图1),∠A=60°,AB=2AD= 2,将 △ABD 以BD 为折痕折起,使得平面 A'BD ⊥ 平面BCD,如图2. 图1 图2 (1)证明:平面A'BC⊥ 平面A'BD; (2)已知点M 为线段A'C 上的点,若二面角 M-BD-C 的余弦值为 55 ,求A'M MC 的值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 翻折问题的解题策略: (1)弄清翻折过程中的“数量变化”,即哪些线段 的长度、角的大小发生了变化,变成了多少;哪些没 有发生变化,依然是原来的大小; (2)弄清翻折过程中的“性质变换”,即翻折过程 中哪些“平行关系”“垂直关系”发生了变化,哪些没 有发生变化; (3)弄清了(1)(2)两个基本问题后,就可以把 问题转化为基本立体几何问题了,然后求解即可. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 194 @第七章 立体几何与空间向量