8.5 椭圆-（讲义）【红对勾讲与练】2024版新高考数学大一轮复习全新方案（人教A版）

hh 8.5 椭圆 5A>! 1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习,进一步体会数形结合的思想. AMc
-  -@) 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1,F2的 等于 常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间 的距离叫做椭圆的 ,焦距的一半称 为半焦距. 2.椭圆的标准方程和简单几何性质 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准 方程 (a>b>0)y 2 a2 + x2 b2 = 1(a>b>0) 图形 a,b,c 的关系 焦点 F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 简 单 几 何 性 质 范围 -a≤x ≤a, -b≤y≤b -b≤x ≤b, -a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) 轴长 短轴长|B1B2|=2b,长轴长|A1A2|=2a 离心率 e= ,且e∈ ,e越接近1,椭圆越 3.在用椭圆定义时,若|F1F2|=2a,则动点的 轨迹不是椭圆,而是连接两定点的线段(包括 端点);若|F1F2|>2a,则轨迹不存在. 常用结论与知识拓展 (1)椭圆中的最值:P 为椭圆上任一点,B 为短轴 一个端点,则|OP|∈[b,a];|PF1|∈[a-c,a+c]; |PF1|·|PF2|∈[b2,a2];∠F1PF2≤ ∠F1BF2. (2)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点 构成的 △PF1F2 叫做焦点三角形. r1=|PF1|,r2= |PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2 的面积为S,则在椭 圆x 2 a2 + y2 b2 = 1(a>b>0)中: ① 焦点三角形的周长为2(a+c); ②4c2=r21+r22-2r1r2cos θ; ③ 当r1=r2 时,即点P 的位置为短轴端点时,θ 最大; ④S= 1 2r1r2sin θ=b2tan θ 2=c|y0| ,当|y0|= b时,即点P 的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值 为bc. (3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的 焦点弦)最短,为2b 2 a . (4)AB 为椭圆x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)的弦(斜率 为k),A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则 ①弦长l= 1+k2|x1-x2|= 1+ 1 k2|y1- y2|; ② 直线AB 的斜率k=- b2x0 a2y0 ; ③k·kOM =- b2 a2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 214 @第八章 平面解析几何 -" 1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)平面内到点F1(-5,0),F2(5,0)距离之 和等于10的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)椭 圆 上 一 点 P 与 两 焦 点F1,F2 构 成 △PF1F2 的周长为2a+2c(其中a为椭圆的 长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (3)x 2 a2+ y2 b2= 1(b>a)表示焦点在y轴上的 椭圆. ( ) (4)椭圆的离心率e越小,椭圆就越扁平. ( ) (5)x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)与y 2 a2+ x2 b2= 1(a> b>0)的焦距相等. ( ) 2.(教材改编题)P 是椭圆x2+4y2=16上一点, F1,F2 是该椭圆的两个焦点,且|PF1|=7, 则|PF2|= ( ) A.1 B.3 C.5 D.9 3.(教材改编题) 若F1(0,-3),F2(0,3),点P 到F1,F2 的距离之和为10,则点P 的轨迹方 程是 . 4.(教材改编题) 设椭圆x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0) 的焦距为2c,若b2=ac,则椭圆的离心率为 . 5.(多选题)