专题1-6 折叠翻转八大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题1-6折叠翻转八大题型汇总 题型1平行问题 1 题型2垂直问题 4 题型3体积距离问题 5 题型4线面角问题 7 题型5二面角问题 9 题型6角度相关动点问题 12 题型7体积相关动点问题 13 题型8最值问题 14 题型1平行问题 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱． (1)在三棱柱中，求证：平面； (2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由． 【变式1-1】1. （2022秋·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考开学考试）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将、分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体． (1)求证：； (2)在线段MD上是否存在一点F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由． 【变式1-1】2. （2022·全国·高三专题练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，平面ABD，且. (1)求DE与平面BEC所成角的正弦值； (2)直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由. 【变式1-1】3. （2021秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）如图①所示的等边三角形的边长为，是边上的高，，分别是边的中点现将沿折叠，使平面平面，如图②所示.     ①                           ② （1）试判断折叠后直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求四面体外接球的体积与四棱锥的体积之比. 【变式1-1】4. （2022·全国·高三专题练习）已知如图1所示，在边长为12的正方形，中，，且分别交于点、，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱，在该三棱柱底边上有一点，满足；请在图2中解决下列问题： （1）求证：当时，平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【变式1-1】5.（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体. （1）点在上，若平面，求点的位置； （2）求二面角的余弦值. 题型2垂直问题 【例题2】（2022·全国·高三专题练习）已知梯形，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问： (1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明； (2)若梯形为等腰梯形，，折叠前，当折叠至面垂直于面时，二面角的余弦值． 【变式2-1】（2020·全国·校联考三模）如图甲，E是边长等于2的正方形的边CD的中点，以AE、BE为折痕将△ADE与△BCE折起，使D，C重合(仍记为D)，如图乙. （1）探索:折叠形成的几何体中直线DE的几何性质(写出一条即可，不含DE⊥DA，DE⊥DB，说明理由)； （2）求二面角D-BE-A的余弦值 题型3体积距离问题 【例题3】（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2． 图1                           图2 (1)求证：AM∥平面BEC； (2)求证：BC⊥平面BDE； (3)求点D到平面BEC的距离． 【变式3-1】1. （2021·高二课时练习）如图，在边长为2的正三角形中，点，，分别是边，，的中点，连接，连接交于点．现将沿折叠至的位置，使得平面平面．连接，．求点到平面的距离． 【变式3-1】2. （2023·全国·高三专题练习）如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面，若点是折后图形中半圆上异于，的点 （1）证明：； （2）若，且异面直线和所成的角为，求三棱锥的体积． 【变式3-1】3. （2020·全国·高三专题练习）如图所示长方形，，现沿，两道折痕进行折叠，、均与垂直，，成为如图所示立体图形 （1）若，，求证平面平面； （2）在（1）的条件下，设，请求出四面体的体积. 【变式3-1】4. （2019秋·全国·高三阶段练习）如图一，在直角梯形中，分别为的三等分点，, ，，，若沿着折叠使得点和重合，如图二所示，连结. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【变式3-1】5.（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2. （1）证明：； （2）若为棱的中点，求点到平面的距