专题1-5 立体几何小题轨迹问题七大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题1-5立体几何小题轨迹问题七大题型汇总 题型1平行关系与轨迹 1 题型2垂直关系与轨迹 3 题型3定长与轨迹 5 题型4相等关系与轨迹 8 题型5角度定值与轨迹 9 题型6翻折问题与轨迹 12 题型7旋转问题与轨迹 14 题型1平行关系与轨迹 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，M为的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（    ）    A．A=4 B．BC1＝4 C．A＝6 D．C＝6 【变式1-1】1. (多选)（2023·全国·高三专题练习）已知为等腰直角三角形，，其高，E为线段的中点，将沿折成大小为的二面角，连接，形成四面体，动点P在内（含边界），且平面，则在变化的过程中（    ）． A． B．E点到平面的距离的最大值为 C．点P在内（含边界）的轨迹长度为 D．当时，与平面所成角的正切值的取值范围为 【变式1-1】2. (多选)（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当最大时，MN与BC所成的角为 C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等 D．若，则点N的轨迹长度为 【变式1-1】3. (多选)（2022·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，平面过点A，平面，且垂足H在正方体的内部，P是棱上的动点，则（    ） A．当平面时，H点的轨迹长度为 B．点H所形成曲面的面积为 C．若仅存在唯一的平面，使得，则 D．若P为的中点，则直线PH与平面所成角的最大正切值为 【变式1-1】4. （2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 题型2垂直关系与轨迹 【例题2】（2023·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且．那么，动点C在平面内的轨迹是（    ）    A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 【变式2-1】1. (多选)（2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（    ）    A．存在点，使得 B．过三点、、的正方体的截面面积为 C．四面体的内切球的表面积为 D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆 【变式2-1】2. (多选)（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图所示，圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于2的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且OM⊥AM，点O在直线PM上的射影为H．当点M运动时，（    ） A．三棱锥M-ABC体积的最大值为 B．直线CH与直线PA垂直不可能成立 C．H点的轨迹长度为π D．AH+HO的值小于2 【变式2-1】3. (多选) （2023·重庆·校联考三模）已知在三棱锥中，，，平面PAC⊥平面ABC．若点M为BC的中点，点N为三棱锥表面上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的外接球的表面积为 B．直线PC与AM所成的角 C．若，则点N的轨迹长度为 D．若点N在棱AC上，则的最小值为2 【变式2-1】4. （2021秋·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为 ，点S与P距离的最小值是 ．    【变式2-1】5. (多选)（2023·全国·高三专题练习）如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则（    ） A．存在唯一的点，使得 B．若，则点的轨迹长为4 C．若，则四面体的外接球的表面积为 D．若，则点的轨迹长为 题型3定长与轨迹 【例题3】（2023·全国·高三专题练习）正方体的棱长为1，点在三棱锥的表面上运动，且，则点轨迹的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】1. (多选)（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（    ） A．若为线段上任一点，则与所成角的范围为 B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为 D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为椭圆的一部分 【变式3-1】2. (多选) （2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），