第三章 小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第三章 小结与复习 知识网络·体系构建 【主题1】对圆锥曲线定义和轨迹方程的理解以及数形结合思想的应用 【例1】已知动圆与两圆中的一个内切,另一个外切,则动圆的圆心的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　.  思路点拨 根据题意,利用两圆相切的性质,分类讨论求出圆的圆心的轨迹方程即可. 主题归纳·综合提升 解：设圆的圆心分别为,圆的半径为.当圆与圆内切,与圆外切时,有则,圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线左支;当圆与圆外切,与圆内切时,有则,圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支,因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线,所以圆心的轨迹方程. 【变式训练1】 (1) [2022·北京市一零一中学高二期末]已知是椭的两焦点,是椭圆上任一点,从任一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为,则点的轨迹为 (　　) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 (2) 已知是两个定点,,且的周长等于24,则顶点的轨迹方程为 . A 【解】(1) 延长垂线的延长线于点,如图①,则是等腰三角形,所以.因为的中点,的中点,所以所以点的轨迹是以原点O为圆心、半径为a的圆.故选A.　 (2) 由已知得,由定义可知,顶点A的轨迹是椭圆,且所以.如图②,建立平面直角坐标系,使轴经过两点,原点的中点,当点在直线上,即时,三点不能构成三角形,所以点的轨迹方程. 变式训练1答图 【点评总结】 (1) 定义是解题的重要依据,求动点的轨迹方程,一种重要方法就是找出动点运动时所满足的几何条件,联想常见曲线的定义,判断出轨迹类型,再写出轨迹方程;(2) 要注意轨迹与轨迹方程的区别,明确“轨迹”是图形,“轨迹方程”是表示该图形的方程,不要将两者混为一谈. 【主题1】对圆锥曲线定义和轨迹方程的理解以及数形结合思想的应用 【例2】在平面直角坐标系中,直线动点满足垂足为.求动点的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形. 思路点拨 设动点的坐标为,根据题目条件,由于动点在运动时满足的几何条件.将此条件表示为的方程,化简这一方程即得动点的轨迹方程,再根据轨迹方程,可得到其表示的图形. 主题归纳·综合提升 解：设,动点在运动时满足的几何条件可以表示为因为垂足为,又直线所以.因为,所.因,所以.所以动点的轨迹方程为.方程所表示的图形为顶点在坐标原点、焦点在轴上、开口向右的抛物线. 【变式训练2】 在平面直角坐标系中,已知平行于轴的动直线交抛物线为抛物线的焦点.圆心不在轴上的圆与直线轴均相切,设圆的圆心的轨迹为曲线求曲线的方程. 【解】因为抛物线的方程为,所以点的坐标为,设因为圆轴、直线都相切,平行于轴,所以圆的半径为,则直线的方程, 所所以,所以曲线的方程为 【点评总结】 求轨迹方程的几种常用方法:① 直接法,通过建立适当的坐标系,设动点为根据几何条件直接寻求之间的关系式;② 代入法:用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线方程,由此即可求得所求动点坐标之间的关系式.例2及变式训练2主要考查了定义法求轨迹方程,如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义,则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. 【例3】 [2022·河南省三门峡市高二期末]已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点,椭圆的离心率为. (1) 求椭圆的标准方程; (2) 从椭圆在第一象限的部分上取横坐标为2的点,若椭圆上有两个点左侧)使得的平分线垂直于轴,且点的横坐标之差为,求直线的方程. 思路点拨(1) 由题意可得关于参数的方程,解之即可得到结果.　(2) 设直线的斜率为设出直线的方程,将其与椭圆的方程联立,构成方程组,由韦达定理可得点横坐标,同理可得点横坐标,再由横坐标之差为,可得的值,进而求得直线方程. 【主题2】对圆锥曲线标准方程与几何性质的理解及转化与化归思想的应用 【解】 (1) 由抛物线方程可得焦点为,则椭圆的一个顶点为即由离心率,解得所以椭圆的标准方程.　 (2) 由题意知点设直线的斜率为,由题意知,直线的斜率为,设,直线的方程为即.联立方程组消去.因为为直线的交点,所以,把,所以解得时,直线的方程为经验证与椭圆相切,不符合题意;当时,直线的方程为,符合题意.所以直线的方程为 【变式训练3】 [2021·陕西省宝鸡市高三质检]已知椭圆的离心率为,点在椭圆上. (1) 求椭圆的方程; (2) 若抛物线的顶点在坐标原点,焦点在椭圆的长轴上,且椭圆的四个顶点到抛物线的准线的距离之和等于6,求抛物线的方程. 【解】 (1) 由题意得离心率,所以①,又点在椭圆上,所　②,联立①②,解得所以椭圆的方程　 (2) 设抛物线的方程为,由题意得椭圆的四个顶点到的准线的距离之和等于6,又因为椭圆长轴上的两个顶点到