第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

3.3抛物线 课时7 抛物线及其标准方程 学习目标 课程目标 学科核心素养 经历从具体情境中抽象出抛物线的过程,理解抛物线定义及焦点和准线的概念 从具体情境中抽象出抛物线,培养数学抽象、直观想象等素养 了解抛物线的标准方程的推导方法,理解抛物线的标准方程中参数p的几何意义 通过推导抛物线的标准方程,发展数学建模、数学运算等素养 掌握抛物线的标准方程及图形特征,会用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程 在运用抛物线的定义和标准方程解题的过程中,提升逻辑推理、数学运算素养 情境导学 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线》中用一个与圆锥的一条母线平行的平面去截该圆锥,他把该平面与该圆锥截得的交线命名为抛物线.与我们前面研究的椭圆、双曲线一样,抛物线也是一种美丽的几何图形,在生产、生活实际以及科学研究的诸多领域中都有着十分广泛的应用,你能说一些你所熟悉的抛物线的应用实例吗? 初探新知 【活动1】 探究抛物线的定义 问题1 如图1,是定点,是不经过点的定直线,是直线上任意一点,过点,线段的垂直平分线交于点.拖动点,观察点随之运动的情况.它的轨迹是什么形状?你能发现点满足的几何条件吗? 问题2 分别表示什么呢? 问题3 你能根据上面的研究,归纳总结出抛物线的定义吗? 初探新知 问题5 设抛物线焦点到准线的距离为,则焦点坐标、准线方程分别是什么? 【活动2】 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程,建立抛物线的标准方程 问题4 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可使所求抛物线的方程形式简单? 问题6 抛物线的方程如何建立呢? 初探新知 问题7 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式? 问题8 二次函数是抛物线的标准方程吗?你能求出其焦点坐标和准线方程吗? 问题9 二次函数的图象为什么是抛物线? 知识梳理 1. 抛物线的定义:我们把平面内与一个定点和一条定直线不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.这一定义可用符号语言表示为. 2. 抛物线的标准方程:设,抛物线的标准方程如下: 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 典例精析 【例1】[教材改编题]已知下列抛物线的标准方程,求其焦点坐标和准线方程: (1) ; (2) ; (3) .   典例精析 【解】 (1) 因为抛物线的标准方程是,所以焦点坐标为,准线方程为. (2) 因为抛物线的标准方程是,所以焦点坐标是,准线方程是.　 (3) 抛物线标准方程为,所以.① 当抛物线开口向右,所以焦点坐标是,准线方程是② 当,抛物线开口向左,所以焦点坐标是,准线方程是.综上所述,当时,抛物线的焦点坐标为,准线方程为. 【方法规律】 已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程时,可以根据方程形式画一个草图,进行初步的“定位”,再根据的数值来“定量”,即求出的值,然后把两者结合起来.涉及参数时要对参数进行分类讨论.注意观察给出的抛物线方程是不是标准方程,若不是,则需将其化为标准方程后再确定其对应的焦点坐标和准线方程. 【变式训练1】(1) [2021·吉林省辽源市田家炳高级中学高二期末]抛物线的焦点坐标为 (　　) A. B. C. D. (2) 抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　.  【解】(1) 抛物线的标准方程为所以抛物线的焦点坐标为.故选A.　(2) 因为抛物线方程为所以抛物线的焦点为,准线方程为,设所求点为,因为点到焦点的距离为9,点到准线的距离为,所以由抛物线定义知即,故所求点坐标为. A 【例2】 (1) 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: ① 过点; ② 焦点在直线上; (2) 点与点的距离比它到直线的距离小1,求点的轨迹方程. 思路点拨：求抛物线的标准方程需要:① 求;② 判断焦点所在坐标轴的位置.此外,还可以利用抛物线的定义求解. 【解】(1) ① 因为点在第四象限,所以抛物线的标准方程可能为将点的坐标分别代入故所求抛物线的标准方程为.② 对直线,所以抛物线的焦点为故所求抛物线的标准方程为.　 (2) 设点的坐标为由已知条件可知,点的距离等于它到直线的距离.根据抛物线的定义,点的轨迹是以为焦点的抛物线.因为=2,所以.因为焦点在轴的负半轴上,所以点的轨迹方程 【方法规律】 求抛线的标准方程一般有两种方法: (1) 定义法:当动点轨迹符合抛物线的定义时,直接根据定义求出抛物线的标准方程; (2) 待定系数法:待定系数法虽然只需待定一个参数,但还有一个“定位”(焦点在哪条轴上),因此有两种思路:一是先定轴(焦点在哪个坐标轴上),再由抛物线经过的点或其他条件确定参数;二是直接设抛物线