第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

3.2双曲线 课时4 双曲线及其标准方程 学习目标 课程目标 学科核心素养 类比椭圆定义得出双曲线的定义,理解双曲线的焦点和焦距的概念 通过类比椭圆定义得出双曲线的定义的过程,培养数学抽象素养 类比椭圆标准方程的推导方法推导出双曲线的标准方程 通过对双曲线标准方程的推导过程,培养逻辑推理、数学运算素养 会用待定系数法求双曲线的标准方程,能运用双曲线的定义及标准方程解决简单实际问题 通过运用待定系数法求双曲线的标准方程的过程,培养数学运算、逻辑推理等素养 情境导学 火电厂、核电站的循环水冷却塔是一种大型薄壳型建筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却水系统多为双曲线型冷却塔.此类冷却塔多用于内陆缺水的电站.你知道这种冷却塔的纵截面是一个怎样的图形吗? 初探新知 【活动1】 探究双曲线的定义 问题1 椭圆的定义是什么? 问题2 如果把椭圆定义中距离的“和”改为“差”,那么点的轨迹是怎样的曲线呢? 问题3 如图2①,取一条拉链,把它固定在板上的两点,拉动拉链头,思考拉链头运动的轨迹是什么图形? 图2 初探新知 问题4 平面内与两定点的距离的差等于非零常数(小于||)的点的轨迹是什么? 问题5 若常数,轨迹是什么?若非零常数呢?若非零常数呢? 问题6 如何定义双曲线呢? 初探新知 【活动2】 类比椭圆标准方程的建立过程,建立双曲线标准方程 问题7 你能类比椭圆标准方程的建立过程,尝试建立双曲线标准方程吗? 问题8 对于问题7中得到的方程,你觉得它简单、优美吗? 问题9 类比于椭圆,能不能给出结构简单且优美的双曲线方程呢? 问题10 类比焦点在轴上的椭圆的标准方程的推导过程,焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么? 知识梳理 1. 双曲线的定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 双曲线的标准方程: 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a,b,c的关系 典例精析 【例1】 [教材改编题]已知双曲线两个焦点的坐标为双曲线上一点的距离的差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程.   典例精析 【解】 方法1:由题意,双曲线的焦点在轴上,所以可设它的标准方程.根据双曲线定义得,所以,则双曲线的标准方程. 方法2:不妨设,所,,移平方后化简得,两边继续平方,化简后即可得双曲线右支的方程同理可得双曲线左支的方程故双曲线的标准方程 【方法规律】 处理有关圆锥曲线方程的问题时,要按照“先定型再定量”基本策略,优先考虑利用定义解决问题.要注意双曲线的定义在解题中的应用:若动点运动时满足条件,则动点的轨迹为双曲线,若动点在焦点分别为的双曲线上,则必有. 【变式训练1】(1) [2021·四川省内江市威远中学高二期中]到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为 (　　) A. 椭圆 B. 两条射线 C. 双曲线 D. 线段 (2) 已知双曲的左、右焦点为是双曲线上一点则等于 (　　) A. 1或13 B. 1 C. 13 D. 9 【解】(1) 因为点到两定点的距离之差的绝对值等于6,而,所以满足条件的点的轨迹为两条射线.故选B.　(2) 根据双曲线定义可得所以又,解得又,所以故选C. B C 【例2】根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)经过点; (2) 与双曲有相同的焦点,且经过点; (3) 过点,且焦点在坐标轴上. 思路点拨： (1) 结合的值设出标准方程的两种形式,将点的坐标代入求解.　 (2) 因为焦点相同,故所求双曲线的焦点也在轴上,且,代入已知点利用待定系数法求解,或设出统一方程求解. (3) 双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解. 【解】(1) 当焦点在轴上时,设所求标准方程,把点的坐标代入,得,不符合题意;当焦点在轴上时,设所求标准方程,把点的坐标代入,得故所求双曲线的标准方程.　(2) 方法1:因为所求双曲线与双曲的焦点相同,所以可设所求双曲线的标准方程,即　①.因为双曲线经过点　②.由①②得,所以双曲线的标准方程.方法2:由所求双曲线与双曲有相同焦点,故可设其方程.因为双曲线过点解得舍去).所以双曲线的标准方程.　(3) 设双曲线的方程为.因为点在双曲线上,所以解得所以双曲线的标准方程 【方法规律】 1. 运用待定系数法求双曲线标准方程的步骤: (1) 确定双曲线的类型,并设出标准方程; (2) 根据题目条件建立关于的方程组,解方程组求出的值. 2. 当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在轴上和轴上两种