第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

2.4圆的方程 课时10 圆的标准方程 学习目标 课程目标 学科核心素养 掌握确定圆的几何要素 类比确定直线的要素,通过自主探究确定圆的要素,培养数学抽象和直观想象素养 能根据圆的定义推导、证明圆的标准方程 通过对平面上两点间距离公式的应用的再挖掘,得到新知识,发展逻辑推理和数学运算素养 会求圆的标准方程,并能得出圆心及半径 通过求解圆的标准方程的过程,培养运用数形结合及方程组的代数方法解决问题的能力,发展逻辑推理和数学运算素养 情境导学 中国古代造车的历史悠久.轮子的使用是造车的基础,我国被认为是世界上较早使用轮子的国家之一.汽车的轮子是圆形的,摩天轮是圆形的,圆在我们的生活中无处不在.日出东方,车行天下,这些都是圆的具体表现形式.那么汽车的轮子为什么设计成圆形,而不是其他形状呢? 初探新知 【活动1】 通过类比,明确确定圆的几何要素  问题1 在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线,那么满足什么条件可以确定一个圆呢? 问题2 为什么饭店酒楼基本都用圆桌? 问题3 在平面直角坐标系中,直线可以用一个方程表示,圆是否也可以用一个方程来表示吗? 初探新知 【活动2】 从圆的定义出发,探究圆的标准方程的推导方法 问题4 如何用圆心和半径表示出圆的方程呢? 问题5 方程一定表示圆吗?我们应该从哪个角度分析呢? 初探新知 问题7 为什么称方程为圆的标准方程呢?圆心在坐标原点,半径为的圆的标准方程是什么? 【活动3】 探究圆的标准方程的形式特征,深化对圆的标准方程的认识和理解   问题6 和直线方程相比,圆的标准方程有什么特点? 初探新知 问题8 一定表示圆心在原点的圆吗？ 问题9 参数如何影响圆的方程? 问题10 求圆的标准方程的基本方法有哪些? 初探新知 问题12 若点在圆上,必有(.如果点不在圆上,例如在圆内或圆外,那么点0的坐标与圆的方程之间具有怎样的关系呢? 【活动4】 类比直线,探究点与圆的位置关系 问题11 我们知道,点与直线有两种位置关系:点在直线上和点在直线外.那么点与圆有哪几种位置关系呢? 知识梳理 1. 圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径. 2. 确定圆的要素:圆心和半径.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 3. 圆的标准方程:.其中,是圆心的坐标 ,是圆的半径. 4. 点与圆的位置关系:设点,圆.(1) 若点在圆内,则;(2) 若点在圆上,则;(3) 若点在圆外,则. 典例精析 【例1】[教材改编题]已知圆的圆心为,且经过原点. (1) 求圆的标准方程; (2) 判断点和圆的位置关系. 【解】(1) 因为圆的圆心为), 设半径为,由圆过原点, ,所以圆的标准方程是.　 (2) 因,所以点在圆内;因所以点)在圆上;因,所以点在圆外. 典例精析 【方法规律】 1. 直接法是求圆的标准方程的重要方法,其基本思路是:根据题目条件求出圆心坐标和半径,直接代入圆的标准方程. 2. 判断点与圆位置关系的方法: 点在圆上⇔; 点在圆内⇔; 点在圆外⇔. 【变式训练1】已知圆与圆关于x轴对称. (1) 求圆的标准方程; (2) 若两条直线和的交点在圆的内部,求实数的取值范围. 【解】(1) 因为圆与圆关于轴对称,圆的圆心,半径是2,所以圆的圆心,半径,代入圆的标准方程,得圆的标准方程为.　 (2) 联立解得两条直线和的交点为,由点在圆的内部,得,解得1.所以实数的取值范围是. 【例2】 [教材改编题]已知三角形的三边所在直线方程分别为,求三角形的外接圆的标准方程. 思路点拨：由三角形的三边所在直线方程可以求出三角形的三个顶点的坐标,从而可以用待定系数法或几何法求出三角形的外接圆的标准方程. 【解】由解得交点,由解得交点,由解得交点.方法1(待定系数法):设三角形的外接圆的标准方程为由外接圆经过三点,得解得将其代入,得三角形的外接圆的标准方程为. 方法2(几何法):易知均在直线上,则的斜率为-2,边的中点坐标为,则的垂直平分线方程为,即,由,易得的垂直平分线方程为.因为三角形的外接圆经过三点,所以外接圆的圆心为线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点,由解得圆心坐标,从而半.所以三角形的外接圆的标准方程为. 典例精析 【方法规律】 求圆的方程,除了直接法外,常用的方法主要有以下两种: 1. 待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量. 2. 几何法:要用到初中有关圆的一些常用性质和定理:如 (1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2) 圆心在任意弦的中垂线上; (3) 两圆相切时,切点与两圆心三点共线等等,解题时,要能灵活地加以运用. 【变式训练2】若不同的四点共圆,求实数的值. 【解】设经过的圆的标