第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时4 空间直角坐标系 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解空间直角坐标系的建立背景,掌握空间直角坐标系的建立方法 通过空间直角坐标系的建立,培养数学抽象与直观想象素养 学会用空间坐标的方法刻画空间点的位置以及表示空间向量 通过对空间中点与向量的坐标表示的研究,培养数学运算、逻辑推理素养 掌握空间直角坐标系和空间向量的坐标表示的简单应用 通过空间向量的坐标表示的简单应用,培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养 情境导学 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出了中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入.为使得几何问题“代数化”,我们引入了坐标系及其运算.对于平面几何的问题,我们通过建立平面直角坐标系使其“代数化”,那么,对于立体几何的问题,我们能通过建立空间直角坐标系的方法将其“代数化”吗?如何建立呢? 初探新知 【活动1】 类比平面直角坐标系,探究空间直角坐标系的构建 问题1 类比平面直角坐标系,如何建立空间直角坐标系? 问题2 像图2这样建立的空间直角坐标系有什么特点? 问题3 空间直角坐标系由哪些元素构成? 问题4 如何画出空间直角坐标系? 图2 初探新知 【活动2】 探究空间的点和向量的坐标表示 问题5 在平面直角坐标系中,每一个点可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么空间直角坐标系中的每一个点是否也有类似的表示呢? 问题6 给出空间任意一点,它的空间坐标是什么? 初探新知 问题7 在空间直角坐标系中,空间向量能用坐标表示吗?如何表示呢? 问题8 在空间直角坐标系中,对空间任意一点或向量,你能借助于几何直观确定它们的坐标吗? 知识梳理 1. 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{},以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系. 2. 空间点的坐标表示:在单位正交基底{}下与向量对应的有序实数组(),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标. 3. 空间向量的坐标表示:在空间直角坐标系中,给定向量,作=,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作. 典例精析 【例1】[教材改编题]在空间直角坐标系中标出下列各点: A(3,0,0),B(2,1,0),C(1,0,2),D(0,2,2),E(1,2,2). 【解】点轴上,横坐标是3,纵坐标与竖坐标都是0,在空间直角坐标系中标出其位置如图.同理可在空间直角坐标系中标出点的位置. 典例精析 【方法规律】 1. 空间中点的坐标表示:先过点作平面的垂线,垂足为,再过垂足分别作轴、轴的垂线,垂足分别为,这样的长就是点的横坐标和纵坐标;最后过点作平面的垂线,垂足为,再过点作轴的垂线,垂足为,则的长即为点的竖坐标. 2. 空间直角坐标系中点的标注:先根据点的横坐标和纵坐标在平面内找出点的位置,再过点作轴的平行线,在直线上向上或向下截取,此时点就是我们要标注的点. 典例精析 【变式训练1】在空间直角坐标系中,已知点(1,2,3),过点作平面的垂线,垂足为,则点的坐标为 (　　) A. (0,2,0)　B. (0,2,3)　C. (1,0,3)　D. (1,2,0) 【解】因为点(1,2,3),过点作平面的垂线,则两点的横坐标和竖坐标分别相等,而点的纵坐标为0,所以点的坐标为(1,0,3).故选. C 典例精析 【例2】 （多选)在空间直角坐标系中,下列结论中正确的有(　　) A. 点(1,3,-4)关于轴对称的点的坐标为(-1,-3,4) B. 点(-1,2,3)关于平面对称的点的坐标是(-1,2,-3) C. 已知点(-3,1,5)与点(4,3,1),则线段的中点坐标是(,2,3) D. 点(-1,1,2)和点(1,-1,-2)关于坐标原点对称 BCD 【思路点拨】平面直角坐标系中有两种对称关系,一种是点关于直线对称,另一种是点关于点对称,而在空间直角坐标系中,点的对称多了一种对称关系,即点关于平面对称.在研究对称问题时,要理清是哪个坐标发生了变化. 典例精析 【解】对于,点(1,3,-4)关于轴对称的点的坐标为(1,-3,4),故错误;对于,点(-1,2,3)关于平面对称的点的坐标是(-1,2,-3),故正确;对于已知点(-3,1,5)与点(4,3,1),则线段的中点坐标是(,2,3),故正确;对于,因为点(-1,1,