第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

1.2空间向量基本定理 课时3 空间向量基本定理 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解空间向量基本定理的意义,掌握空间向量基本定理的本质 通过空间向量基本定理的探究过程,培养逻辑推理、数学运算素养 理解基底、基向量和单位正交基底等概念,掌握空间向量正交分解的方法 通过对空间向量正交分解的学习,培养数学抽象、逻辑推理素养 会运用空间向量基本定理解决一些简单的立体几何问题 通过应用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题,培养数学运算、逻辑推理素养 情境导学 在平面向量中,我们学习了平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,,使.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.生活需要向三维空间发展(播放地面的坦克瞄准空中的飞机的画面).由之前的学习,我们把平面向量的线性运算推广到了空间,那么平面向量基本定理能推广到空间吗?如果能,我们可以得到怎样的结论呢? 初探新知 【活动1】 通过具体实例探究空间问题中向量的分解 问题1 如图1,在正方体中,是的中点,怎样用向量,,表示向量? 图2 图1 问题2 如图2,在斜三棱柱中,是和的交点,怎样用向量,,表示向量? 初探新知 【活动2】 探究空间向量基本定理 问题5 平面向量基本定理是什么?你能不能将平面向量基本定理推广到空间向量呢? 问题4 在空间,如果用三个不共面的向量代替问题3中的三个两两垂直的向量,你能得出怎样的结论? 问题3 如图3,设是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点,对于任意一个空间向量,能否用表示?如何表示? 初探新知 问题7 空间向量的单位正交基底是什么?什么是正交分解? 问题6 在平面向量基本定理中,表示平面上任意向量的一组不共线的向量{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.类似地,在空间,表示空间任意向量的基底是什么? 【活动3】 认识和理解空间向量的基底和正交分解的相关概念  知识梳理 1. 如果是空间三个两两垂直的向量,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,我们称分别为向量在上的分向量. 2. 空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得. 3. 空间向量的基底:如果三个向量不共面,那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的,我们把叫做空间的一个基底,都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 4. 空间向量的正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 典例精析 【例1】(多选)[教材改编题]已知{}为空间的一个基底,则下列各项中能构成空间的一个基底的有 (　　) A. {} B. {} C. {} D. {} BCD 典例精析 【思路点拨】空间的一个基底必须是不共面的三个向量,根据这一概念进行判断即可. 【解】由于{}为空间的一个基底,则不共面,对于A,由于与共线,故选项A错误;对于B,易知不共面,故可以作为空间的一个基底;对于C,易知不共面,故可以作为空间的一个基底;对于D,易知不共面,故可以作为空间的一个基底.故选BCD. 典例精析 【方法规律】 基底判断的基本思路及方法: (1) 基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底; (2) 方法:① 如果向量中存在零向量,则不能作为基底,如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底;② 假设a=λb+μe,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 典例精析 【变式训练1】 [2021·天津市实验中学高二月考]已知是空间的一个基底,则可以和向量构成基底的向量是 (　　) A. B. C. D. 【解】. D 典例精析 【例2】 在正方体中,若是侧面的中心,且=+m-n,则的值分别为(　　) A. ,- B. , C. , D. , 【解】因为=+=+(+)=+(+)=+-,所以.故选A. A 典例精析 【方法规律】 基向量的选择和使用方法: (1) 尽可能选择具有垂直关系的,从同一起点出发的三个向量作为基底; (2) 用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑加法,否则考虑减法;如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘. 典例精析 【变式训练2】如图,已知几何体是平行六面体.设是上靠近点的四等分点.若=x+y+z,则x,y,z的值为(　　) A. x