陕西省富平县富平中学2024届高三上学期第二次周测（理科）数学试卷

2024届高三第二次周测卷（理） （时间：40分钟 满分：100分 ） 一、选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分，每题只有一个选项符合题目要求） 1．二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（    ） A．3 B． C．或 D．或 2．已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 3．函数的大致图象为（    ） A．  B．  C．  D．   4．已知函数的图象在处的切线与的图象交于，两点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B．函数有一个零点 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于点对称 6．已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 9．函数在处的切线方程为 . 10．若函数在上单调递增，，则的取值范围为 ． 三、解答题（本题共2题，每题20分，共40分） 11．已知函数. (1)求的单调区间； (2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围. 12．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； (2)设直线与曲线交于、两点，曲线与轴正半轴交于点，若的面积是，求. 附加题（10分） 13．已知函数，． （1）若是函数的极值点，求的单调区间； （2）求证：． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 参考答案： 1．C 【分析】先根据二项展开式的通项求出参数，在根据定义求定积分. 【详解】依题意，展开式第二项的系数为：，故，于是，. 故选：C 2．A 【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可. 【详解】因为，解之得或2， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，，的图象如图： 由图可知使得或的点有4个. 故选：A. 3．D 【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可 【详解】因为，， 所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项； 又，所以排除B选项， 故选：D． 4．B 【分析】先求出在处的切线方程，再将两点的坐标代入化简即可求得. 【详解】因为，所以，，所以切线方程为， 由题意可知，，， 两式相减，解得，所以，即，所以． 故选：B． 5．D 【分析】根据题意，判断函数的单调性，结合单调性性质判断A，由指数函数的性质可得，结合零点定义判断B，举反例判断C，证明，由此可得函数的对称性，判断D，综合可得答案． 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数， 函数在R上为增函数，易得在R上为增函数， 则有，A错误； 对于B，，有，则有， 所以没有零点，B错误； 对于C，，， 所以，不是偶函数，C错误； 对于D，因为， 所以 所以， 所以函数的图象关于点对称，D正确； 故选：D． 6．C 【分析】分别利用导数求出函数在与上的单调性与最值，画出函数的图象，由题意可得与的图象有两个交点，数形结合求解即可. 【详解】当时，, 则, 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点， 所以与的图象有两个交点， 由图可知或. 所以的取值范围为. 故选:C. 7．C 【分析】变形给定等式，求出的范围，再把变形为的二次函数，求出最大值作答. 【详解】由，得，解得， 于是，而， 当且仅当，即时等号，因此， 所以当时，取得最大值. 故选：C 8．D 【分析】构造函数，，，令求导分析单调性可判断，再令，求导分析单调性可判断. 【详解】，，，构造函数，，， 令，，则， 所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以． 令，，，所以在上单调递减， 所以，所以，所以，所以，所以． 故选：D 9． 【分析】求出原函数的导函数，得到的值，再求出的值，然后利用直线方程的点斜式得出答案． 【详解】由，得， 所以．又， 即函数在处的切线方程为． 即． 故答案为：． 10． 【分析】若要在上单调递增，只需其导函数恒成立即可，进而通过运算即可求得的取值范围. 【详解】对求导得在上恒成立，即只需恒成立，设，则， 所以在上单调递增，注意到当趋于正无穷时，无限接近于，综上的取值范围为． 故答案为： 11．(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】