专题3.8 四点共圆（隐圆压轴五）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题3.8 四点共圆 1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆． (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆. 模型解读： 模型1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则A、B、C、D四点共圆 模型2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则A、B、C、D四点共圆 （2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB； ③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆. 模型3：直径是圆中最长的弦 1.定圆中最长的弦是直径； 2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦； 3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。 【典例1】如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积． 【变式1-1】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，则BD的长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．16 【变式1-2】如图，正方形ABCD和正方形DEFG边长分别为a和b，正方形DEFG绕点D旋转，给出下列结论：①AG＝CE；②AG⊥CE；③点G、D、H、E四点共圆；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤ 【变式1-3】如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 【变式1-4】如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，则DF＝　　，△ABC的面积为 　　 ． 【变式1-5】如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　 　． 【变式1-6】【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连结AC，取AC的中点O，连结OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连结AE，AF，作EP⊥AF于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为 　　 ； （2）如图③，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，则MN的最小值为 　 　． 【变式1-7】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A，D，B，E四点共圆． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 $$ 专题3.8 四点共圆 1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．