1.5.1全称量词与存在量词课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.1　全称量词与存在量词 1.理解全称量词、全称量词命题的含义. 2.理解存在量词、存在量词命题的含义. 3.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，会判断真假. 教学目标 重点、难点 1.重点：全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的含义. 2.判断全称量词命题、存在量词命题及真假. 德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个猜想：“任意取一个奇数，都可以把它写成三个素数之和，比如77，77＝53＋17＋7.”同年欧拉肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且提出此猜想可以有另一等价的版本：每一个大于2的偶数都是两个素数之和，即“1＋1”(1表示1个素数)，如8＝3＋5.这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．后来，数学家们陆续证明出了“9＋9”“7＋7”“6＋6”…“3＋3”“2＋3”，200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1＋2”，即：任意一个充分大的偶数都可以写成一个素数和最多不超过两个素数之积的和，如8＝2＋2×3＝3＋5.从陈景润的“1＋2”到“1＋1”似乎仅一步之遥，但迄今为止它仍然没有得到正面证明，也没有被推翻．不难发现，要想正面证明它就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，但想要推翻它只需“存在一个”反例. 情境导学 新知探索 思考：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (2)是整数； (3)对所有的； (4)对任意一个是整数. 语句命题(1)(2)中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 新知探索 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并且用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题. 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. 一般形式：通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 结构特点：集合中的任意一个元素，都满足条件. 全称量词命题及其真假判断 例 判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假． (1)对任意x∈R，x2＞0； (2)有些无理数的平方也是无理数； (3)对顶角相等； (4)对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0. 解析：(1)(3)(4)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(4)是真命题． 方法归纳 1．判断全称量词命题的关键有两点：一是是否具有命题所要求的量词或形式；二是根据命题的含义判断指的是不是全体． 2．要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x) ”为真，需要对集合M每个元素x，证明p(x)成立． 3．要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x) ”为假，只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“举反例 ”． 例 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方 ”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}． 方法归纳 含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． 自主学习 关系: 存在量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; 不是 不是 是 是 (4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使 (4)变成了可以判断真假的语句. (3)(4) 存在量词命题 自主学习 存在量词与存在量词命题 1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“_____”表示． 2.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做________________. 3.存在量词命题的表述形式：存在量词命题 “存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__________________. 存在量词 存在量词命题 ∃x0∈M，p(x0) ∃ 自主学习 思考：短语“至多有一个”是存在量词吗?