2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1　直线与圆的位置关系（第2课时） 导学案 学习目标 1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法； 2. 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程； 3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。 重点难点 重点：利用直线与圆的方程解决简单的问题 难点：坐标法解决平面几何实际问题的初步应用 课前预习 自主梳理 知识点一：切线问题 1.过圆上一点的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率,再由垂直关系得切线的斜率为,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程 或 . 2.过圆外一点的切线方程的求法 设切线方程为 ,由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得,也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条。一般不用联立方程组的方法求解. 3.求切线长(最值)的两种方法 (1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值; (2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 知识点二:求弦长的两种方法 (1)由半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形,所以利用勾股定理求解,这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程,消元得到关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系,代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐,一般不用. 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)圆心到圆的切线的距离等于半径．(　　) (2)圆的弦的垂直平分线过圆心．(　　) (3)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心．(　　) (4)利用坐标法解决问题的好处是能将几何问题转化为代数问题解决．(　　) 2.直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 3.若圆与直线相切，则实数的值为（    ） A． B．或3 C． D．或 4.已知直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0，若直线l与圆C无公共点，则m的取值范围是（　　） A．（1，8） B．（8，） C．（1，37） D．（8，+∞） 5.已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 问题1 请同学们回顾上节内容，我们研究了直线和圆的几种位置关系，用了哪些方法进行研究，你印象最深刻的是什么？ 师生活动： （1）学生经过思考，作答. （2）教师针对学生的不同答案作出适时评价，并重点强调代数法和几何法的一般过程，以及数形结合的妙用. 追问 你认为下来将研究什么内容.　 设计意图：通过回顾上节内容，为本节的应用做准备，通过追问，引导学生提出值得研究的问题,接下来研究直线与圆的位置关系的应用. 环节二 观察分析，感知概念 思考 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？ 问题2 ：例3 图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）． 追问1 该问题展示的是一个实际问题，如何将它转化为一个数学问题？ 环节三 抽象概括，形成概念 追问2 如何在该图形中建立直角坐标系？ 环节四 辨析理解 深化概念 思考 如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的特点． 追问3如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？ 追问4 圆的基本量是什么，如何利用基本量建立数学关系？ 师生活动： 学生回顾在圆中圆心和半径是基本量，在本例中首先得到圆心位置和圆的半径，如图过点P2作垂足为，在中，建立等量关系解得，然后通过解三角形得到. 追问5 比较两种方法，你觉得坐标法有何优势？ 　 设计意图：本环节由一个问题和5个追问构成，追问的过程也是解决问题的过程，是用坐标法解决平面几何问题的过程.最后对综合法和坐标法进行进行了比较，综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂，坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻. 环节五 概念应用，巩固内化 问题3：例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 追问 你还能用其他的方法解决上述问题吗？ 问题4 通过以上两个实际问题的解答过程，你能将坐标法解决几何问题的步骤程序化吗？ 师生活动：