第五章 小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第五章 小结与复习 知识网络∙体系构建 【主题1】 任意角的概念和表示方法及数形结合思想的应用 思路点拨：先画出直角坐标系，再根据角的正负明确逆时针或顺时针的方向，根据角的大小确定旋转量的大小，旋转一周是. 【例1】 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角： (1) ；(2)；(3) . 主题归纳∙综合提升 【解】 作出各角的终边,如图: 由图可知:(1) 是第一象限角.　(2) 是第二象限角.　(3) 是第三象限角. 【变式训练1】 写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素β写出来． 【解】 与终边相同的角的集合为 ．因为，即，所以，故取当时，；当时，；当时，. 【点评总结】 确定一个任意角所在象限的方法：先利用终边相同的角的表示方法将表示成的形式，其中，再根据在坐标平面中的位置确定出角所在的象限．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角． 【例2】 把一块顶角为、腰长为的等腰三角形厚钢板废料用电焊切割成扇形,现有以下两种方案,如图.要求既要充分利用废料,又要切割时间最短,哪一种方案最优? 思路点拨：对两种方案切割得到的扇形,分别运用扇形面积公式和弧长公式,计算出其面积与弧长,方案最优,即面积要最大,弧长要最小,通过比较,容易得出结果. 【解】 因为是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形,所以,易得,所以方案一中扇形的弧长为,方案二中扇形的弧长为;方案一中扇形的面积为×2×2×=,方案二中扇形的面积为×1×1×=.由此可见,两种方案废料的利用面积相等,方案一切割时间较短.因此方案一最优. 【变式训练2】 已知扇形的圆心角为，半径为. (1) 求的长； (2) 求扇形所含弓形的面积． 【解】 (1) 因为,所以的长. (2) 因为,如图,取的中点, 连接,则. 所以弓形的面积为. 变式训练2答图 【点评总结】 角度制与弧度制是度量角的大小的两种不同制度，它们之间具有如下关系：，运用这种关系可以实现两种不同度量形式上的互化．许多情况下，运用弧度制往往显得更为简捷和方便． 运用弧度制解决扇形相关问题的步骤:① 明确弧长公式和扇形的面积公式:和(这里必须是弧度制下的角);② 分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式;③ 根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. 【主题2】任意角的三角函数的定义及分类与整合思想的应用 思路点拨： 根据余弦函数的定义：，代入已知条件进行求解．注意对角的象限进行分类讨论． 【例3】 已知角的终边上有一点，且，则的值为________. 【解】 【答案】 因为所以.又,所以,所以.又,所以是第一或第二象限角.当为第一象限角时,,则当为第二象限角时,,则 【变式训练3】 已知，且有意义． (1) 试判断角所在的象限； (2) 若角的终边上一点，且(为坐标原点)，求的值及的值． 【解】 (1) 由，得，又，所以是第四象限角． (2) 因为，所以，解得.又为第四象限角，故，从而，. 【点评总结】 利用任意角的三角函数的定义，由角终边上任意一点的坐标，可以求出其三角函数的值．已知角的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：① 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值；② 在的终边上任选一点到原点的距离为.则，已知角的终边上点的坐标求角的三角函数值时，用这几个公式更方便． 【点评总结】 当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号,如图,口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.