5.7三角函数的应用-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第五章 三角函数 5.7三角函数的应用 课时19 三角函数模型在物理中的应用 学习目标 课程目标 学科核心素养 研究简谐运动,进一步理解函数的图象特征和性质 通过对物理学中简谐运动的探索研究,培养数学抽象、逻辑推理等素养 能结合物理学的有关知识,根据已知条件求出三角函数模型的解析式 在运用物理知识建立三角函数模型的过程中,培养数学抽象、数学建模素养 会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的物理问题 在构建三角函数模型解决物理问题的过程中,培养数学建模、数学运算等素养 情境导学 现实生活中存在着大量的具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，这些现象一般都具有周期性，例如弹簧振子、单摆、交变电流等．这些周期现象的运动规律常常可以考虑借助三角函数来描述，而相关问题也可以运用三角函数的图象和性质加以解决． 情境导学 现有某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间(单位：)与位移(单位：)之间的对应数据如下表所示，结合表1数据，可以利用什么函数模型刻画弹簧振子的运动过程？ 初探新知 【活动1】 探究振子运动规律的数学模型 问题1 情境导学中，我们给出了弹簧振子一次全振动过程中时间与位移的对应数据，如何把已知的数据更直观地表达出来？ 问题2 观察散点图，位移随时间的变化规律可以用怎样的函数模型刻画？ 问题3 如何求解振子的位移(单位：)关于时间(单位：)的函数解析式(或近似解析式)？ 初探新知 问题4 你能说出简谐运动中的振幅、周期、频率、相位、初相的含义吗? 初探新知 【活动2】 探究交变电流关于时间变化规律的数学模型 问题5 如图①是某次实验测得的交变电流随时间变化的图象，将图象放大，可以发现交变电流的变化具有周而复始、循环往复的特点，如图②.那么可以利用怎样的函数模型刻画交变电流的周期性变化呢？ 初探新知 问题7 根据上述解析式，当时，求电流. 问题6 求电流随时间变化的函数解析式． 【知识梳理】 1. 在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数表示,其中是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;称为相位;时的相位称为初相. 2. 由交变电流的产生原理可知,电流i随时间t的变化规律可用来刻画.其中是交变电流的振幅,它是最大电流;周期是,它是交变电流完整变化一次所需要的时间;这个交变电流的频率由公式给出;称为相位;时的相位称为初相. 典例精析 【例1】 [教材改编题]某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题： (1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？ (2) 写出这个简谐运动的函数解析式． 思路点拨：先观察振幅以及T，求出周期，进而求出角速度，最后代入最小值点，求出初相. 【解】 (1) 由函数图象可知振幅则周期,频率.　 (2) 由周期,得,此时.当时,,即从而+φ=+2kπ(k∈Z),解得,取,则函数的解析式为. 【方法规律】 已知三角函数图象求三角函数解析式，一般情况下，可直接观察图象得出周期、振幅，进一步求出角速度，最后利用最大值点(或最小值点)求出初相． 【变式训练1】如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是______ ______________. 【解】 由图可知振幅,周期,故,从而.将点代入,得,即=,得. 因此这个振子振动的函数解析式是. 【例2】 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间内离开平衡位置(静止时的位置)的距离由函数解析式 表示． (1) 求小球开始振动的位置； (2) 求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3) 经过多长时间小球往返振动一次？ (4) 每秒内小球能往返振动多少次？ 思路点拨： (1) 把代入已知函数，求得值即可得初始位置． (2) 由解析式可得振幅，然后求出最高点、最低点对应值，即可得． (3) 求函数周期可得． (4) 由频率的意义可得． 【解】 (1) 令,得,所以开始振动的位置为.　 (2) 由题意知,当,即时,上升到最高点,得第一次到最高点时,,此时最高点的位置为;当,即时,下降到最低点,,得第一次到最低点时,,此时最低点的位置为.