5.5 三角恒等变换-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第五章 三角函数 5.5三角恒等变换 课时12 两角差的余弦公式 学习目标 课程目标 学科核心素养 能够运用圆的旋转对称性和任意角的三角函数的定义,发现和证明两角差的余弦公式 通过探索、猜想、发现和推导两角差的余弦公式,培养直观想象、数学抽象等素养 理解两角差的余弦公式的结构特征及主要功能,熟记两角差的余弦公式 在理解和熟记两角差的余弦公式的过程中,培养数学抽象、逻辑推理等素养 学会运用两角差的余弦公式求解三角函数中有关知角求值、知值求值和知值求角等问题 在运用两角差的余弦公式求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养 情境导学 在数学里，有一种证明方法叫做无字证明，它一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题． 我国数学家赵爽在注《周髀算经》时用以证明勾股定理的“弦图”，以及古希腊信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯学派所研究的“形数”等，都是“无字证明”的典范． 情境导学 一个优美的无字证明不仅包含了构造者的奇思妙想，还蕴涵着数学的本质，体现了数学的美学意义，能够达到“无声胜有声”的目的． 如图1，是一张著名的有关三角函数的无字证明图形．观察该图形，你有何发现？ 初探新知 【活动1】 两角差的余弦公式的探究发现 问题1 我们在初中时就知道＝，＝， ＝，＝，你能求出的值吗？ 问题2 ＝－成立吗？如果不成立？应该等于什么呢？ 初探新知 【活动2】 两角差的余弦公式的推导证明与分析 问题3 从图中，你能否得到的表达式？ 问题3 一般地，设为任意角，试猜想与，，，，之间的关系？ 初探新知 问题5 上述表达式是否对任意角都成立？你能用圆的旋转对称性进行证明吗？ 初探新知 问题7 大家最初质疑“＝？”，现在能解决这一问题吗？ 【活动3】 分析两角差的余弦公式的特征，深化对两角差的余弦公式的认识和理解 问题6 公式＝＋称为两角差的余弦公式，记作.该公式有什么特点？如何记忆？ 问题8 给出下面的三角函数式：＋，你能对其化简吗？ 问题8 你能利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式吗？ (1)；(2). 典例精析 【例1】 计算下列各式的值： (1) cos 705°；(2) cos 73°cos 13° ＋sin 73°sin 167°. 思路点拨：(1) 可运用诱导公式将cos705°变换为cos15°，cos15°＝cos(45°－30°)，再由两角差的余弦公式展开，转化为特殊角的函数值求出结果． (2) 由诱导公式，将cos 73°cos13°＋sin73°sin 167°变换为cos73°cos 13°＋sin 73°sin 13°，再逆用两角差的余弦公式将其变为cos 60°即可求出结果． 知识梳理 ＋ 典例精析 【方法规律】 解决三角函数知角求值问题的关键是灵活地运用三角函数公式将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值,公式运用之妙,存乎一心,使用时强调一个“活”字,而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解,“活”主要体现在正用、逆用、变用这三个方面. 【解】 (1) ＝＝＝＝＝＋＝＝. (2) ＋＝＋＝＋＝＝＝. 典例精析 【变式训练1】计算下列各式的值： (1) ； (2) ＋. 典例精析 【解】 - 典例精析 【例2】 [教材改编题]（1）已知＝，∈(,)，＝，是第四象限角，求的值． (2) 已知= ,,求的值. 思路点拨：(1) 由已知和的值,结合同角三角函数的基本关系,可求出和的值,再由两角差的余弦公式,将展开即可.　(2) 将所求角用已知角表示:,再由两角差的余弦公式将未知值转化为已知值即可. 典例精析 【解】（1）由＝，，得＝－＝－＝－.又由，是第四象限角，得所以 因为,所以,>0.由同角三角函数的基本关系得所以 典例精析 【方法规律】解决三角函数的知值求值问题,要注意找出已知的函数值与所求的函数值之间的联系,特别是抓住角的特征分析,设法将未知角用已知角和特殊角表示出来,再运用三角函数公式进行化简和变形,将求知的函数值用已知的函数值表示出来,进而达成求值的目标. 典例精析 【变式训练2】（1）已知则等于 (　　) A. － 　　B. 　　C. 　　D. 【解】 D .故选D. 典例精析 【变式训练2】（2）已知,则的值为( ) A. 　　B. 　　C. 　　D. C 典例精析 【解】 (2) 因为所以,所以.因为,所以=-,所以故选C. 典例精析 【例3】已知与均为锐角,=,=3,求的值. 思路点拨　 由=3,利用同角三角函数间的关系,可求出,根据两角差的余弦公式,可求,从而即得之值. 典例精析 【方法规律】 求解三角函数中的给值求角问题,其本质仍是给值求值问题,即