5.4 三角函数的图像与性质-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 课时10 正弦函数、余弦函数的性质 ——单调性和最大值、最小值 学习目标 课程目标 学科核心素养 掌握正弦函数、余弦函数的单调性,会求正弦函数、余弦函数的单调区间 通过借助三角函数的图象研究三角函数的单调性,培养直观想象、数学运算等素养 学会运用正弦函数和余弦函数的图象求正弦型函数、余弦型函数的最大值、最小值 通过运用图象求正弦型函数、余弦型函数的最大值、最小值,培养直观想象、数学运算等素养 能正确地运用正弦函数、余弦函数的图象和单调性求解有关比较三角函数值大小的问题 在比较三角函数值大小的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 情境导学 如图，一段半径为R、圆心角为90°的扇形圆木，欲按图中阴影部分锯成横断面为四边形OABC的木料． 怎样锯才能使截面面积最大？ 连接OB，设.作，垂足为，，垂足为，则 ，四边形的面积 问题转化为求三角函数的最大值问题．如何求三角函数的最大值呢？ 初探新知 【活动1】 探究正弦函数、余弦函数的单调性 问题1 请你思考：如何研究正弦函数的单调性呢？ 问题2 你能写出正弦函数在一个周期内的单调区间及其函数值的变化情况吗？ 问题3 你能写出正弦函数的单调区间及其函数值的变化情况吗？ 问题4 类比正弦函数，请你写出余弦函数的单调区间及其函数值的变化情况. 初探新知 【活动2】 探究正弦函数、余弦函数的最大值、最小值 问题5 正弦函数的最大值和最小值分别是多少？ 问题6 自变量的值是多少时，正弦函数取到最大值、最小值？ 问题7 余弦函数的最大值和最小值分别是多少？ 问题8 自变量的值是多少时，余弦函数取到最大值、最小值？ 初探新知 问题10 函数的最大值和最小值分别是多少？ 问题9 函数的最大值和最小值分别是多少？ 典例精析 【例1】 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值． (1)； (2) . 思路点拨：此类问题求解的基本依据是正弦、余弦函数的最大(小)值．通过换元的方法转化求解。 典例精析 【解】 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． (1) 使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合；使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合．函数的最大值是；最小值是. 典例精析 (2) 令 ，使函数 取得最大值的 的集合，就是使 取得最大值的的集合，由，得. 所以，使函数取得最大值的x 的集合是.同理，使函数取得最小值的x 的集合是.函数的最大值是，最小值是. 典例精析 【方法规律】 对于形如的函数，一般先通过变量代换将其化归为(设)的形式，然后进行求解．解题过程中，要注意参数的正负对结果的影响． 典例精析 【变式训练1】函数的最小值、最大值分别为(　　) A. 0，3　　　B. －1，3　　　C. －1，1　　　D. 0，1 【解】 B 因为,所以,则所以函数的最小值为-1,最大值为3.故选B. 典例精析 【例2】不通过求值，比较 ，， 的大小关系． 思路点拨：可利用三角函数的单调性比较同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小． 典例精析 【方法规律】 解决此类问题的关键是利用诱导公式将已知角转化到同一三角函数的同一个单调区间上进行研究． 【解】由诱导公式可得 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ． 因为，且正弦函数在上单调递增，所以 < < ，即 < < . 典例精析 【变式训练2】 比较下列各组中函数值的大小： (1) 与；(2) 与. 典例精析 【解】 (1) ,因为,且函数在上单调递增,所以<,即<. 典例精析 【解】 (2) ==-,==-=-.因为,且当时,函数单调递增,所以<,->-,所以>. 典例精析 【例3】 求函数的单调区间． 思路点拨　令，当自变量x的值增大时，的值随之减小，因此若函数 在某个区间上单调递增，则在相应的区间上单调递减. 典例精析 【解】令，则 .因为的单调递增区间是，且由，得，所以函数的单调递减区间是.又因为的单调递减区间是和，且由，得≤x≤2π，－2π≤x≤－，所以函数的单调递增区间是和． 典例精析 【方法规律】 研究正弦型函数和余弦型函数单调性,一般思路是通过变量代换,将其等价转化为或在相应区间上的单调性问题,再借助正弦函数在相应区间上的图象,直观判断获得结论. 典例精析 【变式训练3】函数的单调递增区间是(　　) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) B 典例精析 【解】 ,令,则.因为的单调递增区间是,由解得即函数的单调递增区间是,k∈Z.故选B. 典例精析 （备选例题）定义在上的函数满足,且在上单调递增,是锐角三角形的