5.2 三角函数的概念-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第五章 三角函数 5.2三角函数的概念 课时3 三角函数的概念(1) 学习目标 课程目标 学科核心素养 经历三角函数概念的建构过程,体会用单位圆上点的坐标刻画任意角三角函数的方法 通过用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数,培养数学抽象、直观想象素养 理解任意角的三角函数的概念,能根据定义求出任意角α的正弦、余弦和正切的值 通过运用任意角的三角函数的定义求任意角α的三角函数值,培养逻辑推理、数学运算素养 运用任意角的三角函数的定义研究三角函数的定义域和值域,体会定义在解题中的应用 在运用任意角的三角函数的定义推导符号法则和解题的过程中,培养数学运算、逻辑推理等素养 情境导学 伦敦眼(如图1)坐落在英国伦敦泰晤士河畔，为伦敦的著名旅游观光点之一．它的总高度为135 m，共有32个座舱，每个座舱可载客约25名，旋转一圈需用时30 min. 摩天轮是游乐园的常见项目，我们能否用数学方法来刻画游乐园的摩天轮座舱位置，方便我们研究任意时刻座舱所在位置的变化情况呢？比如，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，并按逆时针方向匀速转动．若坐在座舱中，从初始位置OA出发(如图2所示)，转过30°后，离地面的高度h为多少？转过45°后呢？ 初探新知 【活动1】 从函数角度理解三角函数的定义 问题1 对于一个任意角，如何定义它的三角函数呢？ 问题2 怎样从函数的角度理解三角函数的定义呢？ 初探新知 【活动2】 探究角的终边上任意一点的坐标与该角三角函数之间的关系 问题3 在情境导学中,从初始位置OA出发转过45°,,那么转过角度后呢?能否用一样的解法计算? 问题4 能否找到一个方法计算当时，的高度？ 初探新知 问题5 如图，建立直角坐标系，随着点P位置的改变，∠AOP的三角函数值会改变吗？请举例说明． 初探新知 问题6 参照摩天轮的模型，对任意角α，α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点O的单位圆交于点(如图).当α大小变化时，点P在单位圆上的位置也随之变化，相应的坐标能否计算？举例说明． 初探新知 问题7 任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？ 问题8 我们能否用数学语言准确刻画上述数学模型终点的位置变化情况？ 问题9 已知角α的终边上任意一点的坐标,能否直接由角的终边上任意一点的坐标来表示角α的三角函数值呢? 初探新知 【活动3】 尝试任意角的三角函数的定义的应用,深化对任意角的三角函数的理解 问题10 给出一个任意角α,你都能求出它的正弦函数、余弦函数和正切函数值吗? 问题11 三角函数既然是函数,你能说出任意角α的三个三角函数的对应关系、定义域、值域吗? 知识梳理 1. 设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点. (1) 把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即; (2) 把点的横坐标x叫做的余弦函数,记作,即; (3) 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数,记作,即=(≠0). 2. 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数:; 余弦函数:; 正切函数:. 典例精析 【例1】求－的正弦、余弦和正切值． 思路点拨：角的终边与单位圆的交点→对照角的终边所在象限求值→与图象结合验证运算结果的正负． 【解】 角，与∠AOB＝的终边相同，如图，易知角α的终边与单位圆交点坐标为，故 【方法规律】 确定角的终边所在象限，画出角的终边与单位圆的交点，运用勾股定理算出交点的横、纵坐标，根据三角函数定义写出相应的三角函数值． 【变式训练1】求的正弦、余弦、正切值． 【解】 变式训练1答图 角与的终边相同,如图,易知角α的终边与单位圆交点的坐标为,故=-,=-,=1. 【例2】 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合． (1) 若它的终边过点，求角α的三角函数值； (2) 若它的终边过点，求角α的三角函数值． 思路点拨：用角的终边上任意一点的坐标及其比值来定义三角函数． 【解】 (1) 由角α的终边过点，得，，. (2)由角α的终边过点， . 当时，，，； 当时，，，. 【方法规律】 当点P是角的终边与单位圆的交点时，横坐标x即为，纵坐标y即为，即为；当点P是角的终边上任意一点时，需要先求出，然后求出对应角的三角函数值：，，(α≠＋kπ，k