4.4 对数函数-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

4.4对数函数 课时 对数函数的图象和性质 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解指数函数与对数函数互为反函数及互为反函数的两个函数图象之间的关系 借助具体实例，探究指数函数和对数函数图象间的关系，发展数学抽象素养 能够熟练地运用对数函数的图象和性质解决与对数函数有关的复合函数的问题 在运用对数函数的图象和性质求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想在研究数学问题中的运用 在运用数形结合、等价转化等思想解题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 情境导学 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量．试问燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ 初探新知 【活动1】 探究互为反函数的两个图象间的关系 问题1 在同一直角坐标系中，画出指数函数和对数函数的图象，你能发现它们的图象有什么对称关系吗？ 初探新知 问题3 如果点在函数的图象上，那么点关于直线的对称点在的图象上吗？为什么？ 问题2 取图象上的个点，如,,它们关于直线对称的点的坐标分别是什么？它们在的图象上吗？ 初探新知 问题5 一般地，当且时，指数函数与对数函数的定义域和值域有什么关系？ 问题4 上述结论能推广到一般情形吗？ 初探新知 问题7 如何求解对数不等式？ 【活动2】 通过对数函数的性质，求解对数不等式 问题6 若>1(a>0，且a≠1)，求实数a的 取值范围． 初探新知 【活动3】 探究与对数函数有关的复合函数的单调性、定义域和值域 问题8 的单调区间是否只有一个？ 是否就是的单调区间？ 问题9 思考函数的单调性． 问题10 函数的定义域、值域怎么求？ 知识梳理 . 一般地,指数函数与对数函数互为反函数,它们的定义域与值域正好互换. . 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称. 典例精析 【例1】求下列函数的值域: 思路点拨：要求函数的值域,首先要关注目标函数的定义域,然后将目标函数看成复合函数,再对复合函数的内、外层函数分别求解. ; . 【方法规律】 【解】(1)由题意可得 解： 的定义域是.因为,所以.所以的值域为.　 令,则,显然有画出的图象(图略),可得y的取值范围是,即所求值域为.　 设因为,所以.又在上为减函数,所以.所以的值域为. 对于形如的复合函数,其值域(最值)的求解步骤如下: 分解成两个函数; 求的定义域; 求的取值范围; 利用的单调性求解. 【变式训练】 若函数在上的最大值和最小值之和为,则的值为　　　　.  解：当时,因为在上单调递减,在上也单调递减,所以在上单调递减,所以,于是,解得;同理,当时,在上单调递增,所以,于是,解得,与矛盾.综上所述, . 思路点拨：先观察不等式左右是否同底,若不同底,需要先化简.把不等式左右两端的底数化为相同时,根据对数函数的单调性去对数符号,然后列出相应的不等式,进而求解. 【例】解下列不等式: 【解】 由题意可得解得.所以原不等式的解集为.　 当时,原不等式等价于解得.当时,原不等式等价于解得.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为. 形如的不等式,借助的单调性求解,如果的取值不确定,需分与两种情况进行讨论. 形如的不等式,应将化为以为底数的对数式的形式,再借助的单调性求解. 形如的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解. 【变式训练】利用对数函数的单调性解下列不等式: 解： 由,得,所以,得,所以原不等式的解集为.　 原不等式可化为,即,所以解得.所以原不等式的解集为. 【例】 [·陕西省高三数学联考]已知函数. 若,求的单调区间; 是否存在实数,使在上单调递增?若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由. 由,可求得.则,先研究内层函数在定义域上的单调性,再根据外层函数在定义域上是减函数得出结论;　 由在上为增函数,建立关于的不等式组,解不等式组求出的范围即可. 解： 由,得,所以,所以,则.由,得或.故函数的定义域为.令,则在上单调递减,在上单调递增.又在上单调递减,所以的单调递增区间是,单调递减区间是.　 令,要使在上单调递增,应使在上单调递减,且恒大于.因此即无解.所以不存在实数,使在上单调递