第三章 小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第三章 函数的概念与性质 小结 知识体系构建 思路点拨： 由函数的概念，根据使函数式有意义，列出自变量的限制条件组成不等式(组)，解出自变量范围，用集合的形式表示即可. 利用幂函数的定义可得，解出方程，再根据该函数是偶函数确定的值. 主题1　函数的概念及函数与方程思想的应用 【例1】 的定义域是　　　　　　　　,值域是　　　　;  已知函数是幂函数,且该函数是偶函数,则的值是　　　　. 【解】 要使函数有意义,必须且只须即解得或,所以函数的定义域为.易知函数为偶函数,且在上单调递增,故当时,,所以函数的值域为.　 因为函数是幂函数,所以,解得或.当时,函数是奇函数,与题意不符,舍去;当时,函数是偶函数,符合题意,即的值是1. 典例精析 【变式训练1】 是“函数(为常数)为幂函数”的(　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 若函数的定义域为一切实数,则实数的取值范围是　　　　; 【解】 由题意可得对恒成立.当时,恒成立;当时,则解得.综上可得. 当函数为幂函数时,,解得或,所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选A. 【例2】已知是二次函数，并且满足，方程有两个相等的实数根，求函数的解析式． 思路点拨：用待定系数法．由是二次函数，可设(是常数)，根据条件求出的值即可． 【解】 因为是二次函数,可设(是常数),并且,由,得,且,即　,又由,得,即有两个相等的实数根.所以,所以.将其代入得,所以. 【变式训练2】 [·吉林通榆第一中学高二期末(文)]设 若，则的值为(　　) A. B. C. 或 D. C 【解】 因为当时,令,解得;当时,令,解得.综上所述,或.故选C. 思路点拨: 根据函数图象的开口方向，对称轴位置判断系数的正负． 根据函数的奇偶性画出的完整图象，再根据完整图象得到的解集． 【例3】 设，二次函数的图象可能是(　 ) 已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则的解为______ __. D 主题2　函数的图象和性质及数形结合思想的应用 【解】 例3答图 项,由图象开口向下知,由对称轴位置知,所以.又因为,所以.而由题图知,错误;项,由题图知,,故.又因为,所以,而由题图知,错误;选项中,开口向上,故,.由知,从而函数的对称轴,故错误,正确.故选.　 由于为上的奇函数,图象关于原点对称,因此可做出函数在上的图象如图.由图可知的解集为. 【变式训练3】 函数与在同一坐标系内的图象是图中的(　　) B 【解】 选项，由函数的图象可得，由二次函数的图象可得，错误； 选项，由函数的图象可得，由二次函数的图象可得，正确； 选项，由函数的图象可得，由二次函数的图象可得，错误； 选项，由函数的图象可得.由二次函数的图象可得, 函数与的坐标轴交点是同一点，错误． 故选. 【例4】已知函数 求证：是奇函数； 求的单调递减区间，并证明你的结论． 思路点拨： 要证明是奇函数，只要根据奇函数的定义，证明满足：对定义域中的任意x的值，均有成立． 可先作出的草图，从图象上观察得到其单调递减区间，再运用函数单调性定 义加以证明． 【解】 显然函数的定义域关于原点对称.因为当时,,则;当时,,则.综上可知,对于定义域内的任意,总有,所以函数为奇函数.　 作出函数的草图(图略),由图象可得的单调递减区间为和.证明如下:设且,则因为当时,,所以.因为,且,所以,,所以,即,所以在区间上单调递减.同理可证在区间上也单调递减. 【变式训练4】已知函数. 若为偶函数,求在上的值域; 若在区间上单调递减,求在上的最大值与最小值. 【解】因为函数为偶函数,故,即,解得,所以.因为,所以.所以,即在上的值域为.　 若在区间上单调递减,则函数图象的对称轴为,则,所以.所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.故当时,需比较与的大小,因为,所以,由于,所以,所以,所以,故在上的最大值为,最小值为. 思路点拨: 根据函数解析式分析函数单调性，对和分情况讨论即可． 利用各段单调递减、两段衔接递减求解． 【例5】 C 已知函数若,则实数的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 若函数是定义在上的减函数,则的取值范围为　　　　. 【解】 因为函数所以该函数在上单调递减,在上为定值.若,则解得,故实数的取值范围是.故选.　 要使函数在上是减函数,则解得. 【变式训练5】 已知函数则满足不等式的的取值范围是________； [·山西高一期末]已知函数是奇函数，且在上单调递减，则实数_____