2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、 不等式 课时 一元二次不等式及其解法 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念 通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，培养数学抽象素养 能够利用二次函数、一元二次方程与不等式的关系解一元二次不等式 经历探究“三个二次”之间的关系，发展逻辑推理以及直观想象素养 理解并掌握一元二次不等式的解法 通过解一元二次不等式的过程，培养数学运算素养 情境导学 某旅馆有客房间，平日里每间客房的日租金为元，每天所有客房均全部租出．为提高收益，该旅馆决定提高每间客房的日租金．经市场调研发现，每间客房的日租金每提高元，客房出租数量就会减少间．规定每间客房的日租金不得高于元，那么要使每天的客房租金总收入高于元，该旅馆每间客房日租金的提高空间有多大？ 你能选取适当的变量，列出求解此问题的不等式吗？ 初探新知 【活动1】 明确一元二次不等式的一般形式 问题1 请同学们结合定义写出一元二次不等式的一般形式． 问题2 你能抽象出一元二次不等式的概念吗？尝试用自然语言叙述． 初探新知 问题4 请作出二次函数的图象． 【活动2】 棱柱的表示方法及分类 问题3 有了二次函数的解析式后，为了更直观地研究函数，我们需要做的工作是什么？ 初探新知 问题6 由特殊推广到一般，二次函数与一元二次方程有着怎样的关系？ 【活动3】 看二次函数图象，掌握零点概念，明确函数 与方程之间的关系 问题5 从二次函数图象上如何找出二次函数与对应方程之间的联系，关键点是什么？请你在二次函数图象中标出． 初探新知 问题8 推广到一般情况，二次函数与一元二次不等式及有着怎样的关系？ 【活动4】 分析二次函数图象，明确函数与不等式之间的关系 问题7 二次函数的两个零点将二次函数的图象分成三段，试描述三段图象的特点，并求出的解集． 初探新知 问题11 怎样求出一元二次不等式和的解集？ 【活动5】 总结提炼一元二次不等式的解法 问题9 依据上述探究，总结提炼出解一元二次不等式和的一般解法． 问题10 通过列表写出一元二次不等式和的解集． 知识梳理 1. 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2. 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点. 3. 二次函数与一元二次方程之间的关系:二次函数的零点就是一元二次方程的根. 4. 二次函数与一元二次不等式之间的关系:二次函数位于轴上方的图象对应的范围,即为对应一元二次不等式的解;二次函数位于x轴下方的图象对应的x范围,即为对应一元二次不等式的解. 典例精析 【例1】 [教材改编题](1) 求不等式的解集；(2) 求不等式的解集． 【思路点拨】(1) 方程的根即为函数的零点,可依据所求方程的根及二次函数图象得到不等式的解集. (2) 思路一:先利用不等式性质将不等式转化为,再结合方程的根与二次函数的图象(开口向上)得到不等式的解集.思路二:结合方程-的根与二次函数的图象(开口向下)得到不等式的解集. 【解】 (1) 对于方程,,解得两根为,.画出二次函数的图象(图①),结合图象得的解集为.　 (2) 方法1:在不等式两边同乘以-1,可得,方程的解为,.画出函数的图象(图②),观察图象,可得原不等式的解集为. (3) 方法2:方程的解为 ,函数的图象是开口向下的抛物线,与x轴的交点为和,如图③,观察图象知不等式的解集为. 【方法规律】 解一元二次不等式的一般步骤 1. 解方程:解与一元二次不等式相对应的一元二次方程:. 2. 画草图:画与一元二次不等式相对应的一元二次函数的草图. 3. 写解集:根据草图,确定不等式所对应的图象位置,由此写出对应横坐标的集合. 【变式训练1】求不等式的解集. 【解】 方法1:由方程有两相等实数根,故函数图象为开口向下且与轴相切的抛物线,因此的解集为空集. 方法2:不等式可化为,由方程有两个相等的实数根,故函数的图象为开口向上且与x轴相切的抛物线,故的解集为空集. 思路点拨：先讨论二次项系数,明确不等式的属性:当时,不等式为一元一次不等式;当时,不等式为一元二次不等式. 【例2】 [2022·湖南省衡阳市高一期末改编题]求关于的不等式的解集. 【解】 若原不等式等价于,解得.若,原不等式等,解得或.若,则原不等式等价于.①当时,,无解;②当时,,解