2.2 基本不等式-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一配套课件PPT（人教A版2019）

第二章 等式性质与不等式性质 2.2基本不等式 课时3 基本不等式(1) 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解、掌握基本不等式的内容 通过由完全平方公式到基本不等式的过程，培养逻辑推理素养 能够利用不等式的性质证明基本不等式，初步理解分析法 借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理、数学运算素养 情境导学 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标(如图1)，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客． 图1 图2 情境导学 如果将图中直角三角形的两条直角边的长度分别设为a，b(如图2所示)，你能发现随着直角边长a，b的变化，这个弦图的大正方形和直角三角形的面积间有怎样的不等关系吗？用代替a，代替b后，这个不等式又有什么变化？ 初探新知 【活动1】 认识算术平均数与几何平均数 问题1 从情境导学中，我们了解到，在日常生活中，我们经常会碰到用和表示的量，你知道它们的名称吗？ 初探新知 【活动2】 猜想的大小关系，发现基本不等式。 问题2 两个正数a,b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的关系呢？ 初探新知 问题4 如果将基本不等式的条件：正数a，b中的“正数”去掉，基本不等式还成立吗？为什么？ 【活动3】 理解基本不等式的“内涵”和“外延”，掌 握基本不等式的证明方法 问题3 什么是基本不等式?你能证明基本不等式吗? 初探新知 【活动4】 通过图形，理解基本不等式的几何意义 问题5 如图3，以AB为直径作半圆ADB，圆心为O.过直径AB上一点C作CD垂直于AB，交半圆于点D，连接AD，BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 初探新知 问题7 基本不等式中的，均为正数，而中的，有无此要求？ 【活动3】 认识基本不等式和不等式的关系 问题6 基本不等式与不等式在结构上有什么联系和区别？ 知识梳理 ,有+≥,当且仅当时,等号成立.特别地,如果,,我们用,分别代替上式中的,,可得≤,当且仅当时,等号成立.如果,,则称≤为基本不等式.其中叫做正数,的算术平均数,叫做正数,的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 典例精析 【思路点拨】从基本不等式成立的条件入手，对每个选项进行判断 【例一】已知,且,则下列不等式中恒成立的是(　) A. B. C. D. 【解】对于A,当时,,所以A错误;对于BC,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,BC错误;对于D,因为,所以,>0,所以,即恒成立.故选D. 【方法规律】 在基本不等式应用过程中要注意“一正”“二定”“三相等”．一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即有解． 【变式训练1】(多选) [教材改编题]下列选项中能成立的有(　　) A. B. C. 　D. 【解】 当均为正数时，,故只需同号即可，所 以ACD均满足要求.故选ACD ACD 【例2】 [2022·天津市高三三模改编题]若，，且，试找出，，，2ab中的最大者． 思路点拨：利用基本不等式及作差法比较大小，也可运用特殊值法进行求解． 【解】因为，，且，所以，，所以四个数中最大的应从，中选择．而，因为，，所以，，所以，，所以，即，所以最大． 【方法规律】 (1) 在使用基本不等式时，要注意不等式的双向性． ① 从左到右：常使用基本不等式的变形公式 (当且仅当时取等号)； ② 从右到左：常使用(，当且仅当时取等号). (2) 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件． (3) 特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性． 【变式训练2】已知a，b是不相等的正数，， ，试比较的大小． 【解】 已知a,b是不相等的正数，由 得 , 又因为即, 所以,即 【解】 方法1:因为=. 当且仅当方法2: 因为, 【例