专题04 两条直线的位置关系、距离公式（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题04 两条直线的位置关系、距离公式 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点三：两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 知识点四：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 知识点五：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 知识点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 知识点六、对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称. 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题. 设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点 .特别地,点P关于坐标原点O的对称点为. 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系: ①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即. 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点 ； ②点关于y轴的对称点 ； ③点关于直线y=x的对称点 ； ④点关于直线y=−x的对称点 ； ⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点； ⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点. 重难点题型突破(一) 直线的交点问题 例1．（1）、（2023·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) （2）、（2023秋·高二课时练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2022·全国·高二专题练习）过原点和直线与的交点的直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】、（2023秋·高二课时练习）（多选题）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的值可为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 重难点题型突破(二) 距离公式的应用 例2.（1）、（2022·全国·高二专题练习）已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（     ） A．8 B．6 C．3 D．0 （2）、（2022·全国·高二课时练习）已知两直线与，则与间的距离为（       ） A． B． C． D． （3） 、（2023秋·高二课时练习）两条平行直线之间的距离为（    ） A． B． C． D．1 （4）．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、（2022·江苏·高二）直线，为直线l上动点，则的最小值为___________. 【变式训练2-2】、（2022·全国·高二专题练习）已知点到直线的距离为1，则m的值为（       ） A．或 B．或15 C．5或 D．5或15 【变式