函数的值域与最值-高一上学期必修一同步导学案

函数的值域与最值 【考纲解读】 1、理解函数值，函数值域和函数最值的定义： 2、掌握求函数值.函数值域和函数最值的基本方法： 3、了解抽象函数的定义和求抽象函数值的基本方法： 4、能够熟练运用函数值，函数值域和函数最值解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、函数值： 1、函数值的定义：在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值称为函数值。 2、求函数值的基本方法： (1)已知函数的解析式.求函数值：基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式： ②通过运算求出函数的值： (2)已知分段函数的解析式，求函数值：基本方法是：①确定给定的自变量属干哪一段，在 此基础上确定函数符合的解析式：②把自变量代入确定的解析式，并通过运算求出函数值： (3)抽象函数在R上满足的恒等式，求函数值：基本方法是赋值法，其具体步骤为：①确定 求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值：②确定求各个自变量函数值时需要赋的值：③求 出所求自变量的函数值。 二、函数的值域： 1、函数值域的定义：所有函数值构成的数集.叫做函数的值域： 2、函数值域的求法： (1)运用基本函数的值域求函数值域：基本方法是：①把函数解析式化为某一基本函数关干 y的解析式：②根据基本函数的值域得到关干y的不等式（或不等式组）：③求解不等式（或 不等式组)求出y的取值范围：④得出函数的值域： (2)常数分离法求函数值域：基本方法是：①确定分离的常数：②把函数解析式化为确定的 常数与某个式子的和的形式：③根据式子的值恒不为霁，得到函数的值不等干常数：④得出函 数的值域： (3)判别式法求函数值域：基本方法是：①把函数解析式化为关干自变量×的一元二次方程： ②根据自变量X是实数和一元二次方程根的判别式，得到关干函数y的不等式：③求解不等 式求出V的取值范围：④得出函数的值域： (4)配方法求函数值域：这种方法值适用干求一元二次函数的值域：基本方法是：①运用数 学配方法对一元二次函数进行配方：②根据实数的平方为非负数，求出函数Y的取值范围：③ 得出函数的值域： (5)换元法求函数值域：基本方法是：①设出新元（若根号下是一元一次式.则设新元为整 个二次根式：若根号下是一元二次式，则设新元为某一三角函数)：②求出新元的取值范围. 同时进行换元：③求出换元后函数的值域（注意新元的取值范围）；④得出原函数的值域。 (6)运用基本不等式求函数值域：基本方法是：①注意观察，确定具有基本不等式条件的部 分：②运用基本不等式求出该部分的取值范围：③根据②中的结果确定函数的取值范围：④ 得出函数的值域。 (7)数形结合法求函数值域：基本方法是：①作出问题中函数的图像：②运用函数图像确定 函数的最值：得求出函数的值域： (8)运用函数的单调性求函数值域：基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性：②根据 函数的单调性求函数在定义域上的最值：③确定函数的取值范围：④得出函数的值域。 三、函数的最值： 1、函数最值的定义： (1)函数最大值的定义：设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的自变量×∈A,都有f(x) ≤M成立.且存在x,∈A,使fx,)=M,则称M是函数f(x)的最大值： (2)函数最小值的定义：设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的自变量x∈A,都有f(x) ≥N成立.且存在x∈A,使f(x)=N,则称N是函数f(x)的最小值。 2、函数最值的求法： 求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域：②确定函数的最值。 【探导考点】 考点1求函数值的基本方法：热点①分段函数值的求法：热点②复合函数值的求法：热点3已 知函数值，求解析式中参数（或自变量x)的值： 考点2求函数值域的基本方法：热点①已知函数解析式，求函数在给定区间上的值域：热点② 分段函数值域的求法：热点③运用函数导函数求函数的值域： 考点3求函数最值的基本方法：热点①已知函数解析式，求函数在给定区间上的最值：热点② 分段函数最值的求法：热点③运用函数导函数求函数的最值。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、设函数f(x)千3x-1.×<1,则满足ffa)=2a,的a的取值范围是() 2,X21. [0.1] 2 +￥) [1.+￥) 2、设函数fx)=x2+1.x￡1.则f(f(3》=() 2-x 13 x>1.B3 2 C D 3 9 3、已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)X-a2+8.设H,(x)=max {fx,g(x)及.H2(x)=min{fx),g(x)及.max{p,q表示p,q中的较大值.min{p. q表示p,q中的较小值，记H,(x)的最小值为A,H,(x)的最大值为B.则A-B=() A 16 B -16 ca2-2a-16D a2+2a-16 4、已知实数a'