高频热点16 函数性质间的相互联系与转化-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点16 函数性质间的相互联系与转化 一、直击热点 奇偶性、对称性、周期性以及单调性是函数的四大性质,在高考命题中常常将它们综合在一起,这是命题创新的一大落脚点,也是高考考查的重点与热点.这类问题往往以小题的形式呈现,多选题的引入使得考查视角更广阔、涉及的知识更丰富.在求解这类问题时要关注函数各性质间的相互联系,对性质进行灵活、综合地运用.在函数性质的相互联系中也彰显了数学思想. 二、热点问题 (多选)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立.若当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,有>0,则下列结论中成立的有 (　　) A. f(3)=0 B. 直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴 C. 函数y=f(x)在[-9,-6]上单调递增 D. 函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点 【深度剖析】 对于选项A,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立, 令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3), 又f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0,故A正确. 对于选项B,由选项A可知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6, 又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称, 所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故B正确. 对于选项C,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,有>0, 所以函数y=f(x)在[0,3]上单调递增,又因为f(x)是R上的偶函数. 所以函数y=f(x)在[-3,0]上单调递减,而f(x)的周期为6. 所以函数y=f(x)在[-9,-6]上单调递减,故C错误. 对于选项D,因为f(3)=0,f(x)的周期为6,所以f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,又因为f(x)在(-3,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,且f(-3)=f(3)=0,故在(-3,3)上,f(x)≠0,又由于f(x)是周期为6的周期函数,故在(-9,-3)和(3,9)上,f(x)≠0,所以函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点,故D正确. 故选ABD. 【题眼】 本题以抽象函数为载体,是集函数性质于一身的函数综合问题,考点涉及函数性质间的相互联系与转化,试题情境为课程学习情境与探索创新情境,主要考查学生的数学抽象、理解推理能力.数形结合、等价转化是解决本题的重要思想,解题的关键是深刻理解函数性质的本质.对于本题,根据题意并结合函数奇偶性发现f(3)=0,这是后续分析的基础,之后利用周期性、对称性以及单调性间的相互转化使问题迎刃而解. 三、触类旁通 1. [2022·全国乙卷(理)]已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则等于 (　　) A. -21 B. -22 C. -23 D. -24 2. (多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)为偶函数,且f(x)在区间[2,3]上单调递增,则 (　　) A. f(x)的周期为2 B. f(-1)是函数f(x)的最小值 C. 函数f(x)图象的一个对称中心为(4,0) D. f(x+16)=f(x-12) 3. (多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若 f（-2x）,g(2+x)均为偶函数,则 (　　) A. f(0)=0 B. g（-）=0 C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2) 4. 设函数f(x)=ex-e-x-2x,则不等式f(2x2-1)+f(x)≤0的解集为　　　　. 四、方法提炼 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性根据某一函数在一个区间上的单调性来确定其在另一个区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题. 五、巩固反思 1. 已知函数f(x)=lnx,若函数g(x)=kx-与函数y=f(|x|)的图象有且仅有三个交点,则实数k的取值范围是 (　　) A. (0,) B. (-,) C. (-,0)∪(0,) D. (-,0)∪(0,) 2. (多选)已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-f(x),且函数y=f(x-1)为奇函数,则 (　　) A. 函数y=f(x)是周期函数 B. 函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称 C. 函数y=f(x)为R上的偶函数 D. 函数y=f(x)为R上的单调函数 3. (多选)在平面直角坐标系xOy中,如图放置的边长为2