高频热点25 用必要性先行解决函数综合问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点25 用必要性先行解决函数综合问题 一、直击热点 必要条件是数学中的一个重要概念,数学中的很多问题若利用其题设的必要条件求解,解题过程往往简便快捷.特别是恒成立问题,若按常规思路去解答往往较为困难,而利用必要条件的思维方式则极易找到合适的求解思路,从而事半功倍,大大降低了思维强度. 二、热点问题 若不等式x-2sinx≤(1-a)x-xcosx对x∈[0,π]恒成立,求实数a的取值范围. 【深度剖析】方法1(常规方法):  由题意,x-2sinx≤(1-a)x-xcosx对x∈[0,π]恒成立等价于2sinx-xcosx-ax≥0对x∈[0,π]恒成立. 令F(x)=2sinx-xcosx-ax,x∈[0,π], F'(x)=cosx+xsinx-a,令f(x)=F'(x),则f'(x)=xcosx, 当x∈时,f'(x)≥0,F'(x)单调递增, 当x∈时,f'(x)≤0,F'(x)单调递减, 所以F'(x)在[0,π]上先增后减, 又F'(0)=1-a,F'(π)=-1-a,F'（）=-a, ① 当F'()=-a≤0,即a≥时,F'(x)≤0,x∈[0,π], 所以F(x)单调递减,又F(0)=0,则F(x)≤0,不符合题意; ② 当F'()>0,即a<时, (ⅰ) 若F'(0)≥0,F'(π)<0,即 即-1<a≤1时,则一定存在m∈(,π),使得F'(m)=0, 所以F(x)在(0,m)上单调递增,在(m,π)上单调递减, 因为 所以F(x)≥0恒成立,此时-1<a≤1; (ⅱ) 若F'(0)≥0,F'(π)≥0,则F(x)在[0,π]上单调递增,且F(0)=0, 则F(x)≥0在[0,π]上恒成立,此时解得a≤-1; (ⅲ) 若F'(0)=1-a<0,则F'(π)=-1-a<0, 所以存在n∈(0,),使得F'(n)=0, 所以F(x)在(0,n)上单调递减,又F(0)=0,所以当x∈(0,n)时,F(x)<0,不符合题意. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1]. 方法2(先找必要条件):  取x=π,则π-2sinπ≤(1-a)π-πcosπ,即π≤(1-a)π+π,所以a≤1. 下证充分性:即证2sinx-xcosx-ax≥0,x∈[0,π]在a≤1的情况下恒成立. 设F(x)=2sinx-xcosx-ax,x∈[0,π], 则F'(x)=cosx+xsinx-a,令f(x)=F'(x),则f'(x)=xcosx, 由a≤1,当x∈时,f'(x)=xcosx≥0, 所以F'(x)=cosx+xsinx-a单调递增,则F'(x)≥F'(0)=1-a≥0, 所以F(x)=2sinx-xcosx-ax单调递增, 从而F(x)≥F(0)=0,原不等式成立; 当x∈时,f'(x)≤0,F'(x)单调递减, 所以F'(x)min=-1-a. 若-1-a>0,即a<-1,F(x)单调递增,F(x)≥F(0)=0,成立; 若-1-a<0,即-1<a≤1,F(x)先增后减, 所以F(x)min=min{F(0),F(π)}=min{0,π(1-a)}≥0,故成立. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1]. 【题眼】 本题是函数与不等式的综合问题,试题情境为课程学习情境与探索创新情境.解决问题的过程彰显了发现问题、提出问题以及逻辑推理的能力.这类试题解题的核心思想是执果索因,从必要条件入手缩小范围、突破难点.本题方法2,通过取x=π,缩小a的取值范围,从此减少了讨论点,简化了问题,使得求解过程更为自然顺畅. 三、触类旁通 1. 已知函数f(x)=mex,g(x)=lnx+1.若不等式f(x)>g(x)+1恒成立,则整数m的最小值为 (　　) A. -1 B. - C. 1 D. 2 2. 已知函数f(x)=lnx-(m<0)在区间[1,e]上取得最小值4,则实数m=　　　　.  3. 是否存在正整数a,使得ex-ax≥x2lnx对一切x>0恒成立?试求出a的最大值. 4. 已知函数f(x)=ex-2sinx,若对于任意的x∈[0,+∞),f(x)≥1-ax恒成立,求正数a的取值范围. 四、方法提炼 对于某个区间上含参数的恒成立问题,根据变量在该区间上取值的任意性,可以先让它取此区间上的某个或某些特殊点,得到参数的初步范围.利用必要性先行解决函数综合问题大致有三个方向: 1. 利用必要条件得到可能的答案,再检验去掉增解. 2. 多次利用必要条件,利用交集将问题答案“逼”出来. 3. 利用必要条件缩小参数的取值范围,方便讨论.解题时,往往先通过研究给定区间的端点或函数的极值点或几何意义中的切点等,研究问题的必要条件,给出大致的参数取值范围,再进行充分性的验证. 五、巩固反思 1. (多选)已知x>2,k<,则k的