高频热点24 含参双变量函数问题研究-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点24 含参双变量函数问题研究 一、直击热点 函数与导数一直是高考的热点,在近几年的高考试卷及各地模拟试卷中,借助导数处理含有两个变量的函数与不等式的问题层出不穷,且在选择题、填空题和解答题中均有涉及.这类问题由于变量多,不易下手,是高考的难点,我们若能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再借助导数就可有效地解决这类问题. 二、热点问题 已知函数f(x)=x2-2ax+2lnx存在两个极值点x1,x2(x2>x1).求证:f(x2)-f(x1)<(2-a)(x2-x1). 【深度剖析】由题意,f'(x)=2x-2a+=,x>0. 易知2x2-2ax+2=0有两个不等的正根x1,x2, 所以解得a>2,且0<x1<1<x2. 则f(x2)-f(x1)=(-2ax2+2lnx2)-(-2ax1+2lnx1)=(-)-2a(x2-x1)+2ln=(-)-2(x2+x1)(x2-x1)+2ln=-(-)+2ln. 又(2-a)(x2-x1)=2(x2-x1)-a(x2-x1)=2(x2-x1)-(x2+x1)(x2-x1)=2(x2-x1)-(-), 所以要证f(x2)-f(x1)<(2-a)(x2-x1),只需证2ln<2(x2-x1), 因为x1x2=1,所以只需证ln<x2-,即证x2--2lnx2>0. 令g(x)=x--2lnx(x>1),则g'(x)=1+-=（-1）2>0, 所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以∀x>1,g(x)>g(1)=0,所以x2--2lnx2>0. 所以若f(x)存在两个极值点x1,x2(x2>x1),则f(x2)-f(x1)<(2-a)(x2-x1). 【题眼】 本题是以双变量形式给出的函数与不等式的综合题,主要考查学生的逻辑推理、数学运算能力,试题情境为课程学习情境和探索创新情境.转化与化归是解决本题的核心思想,解决问题的过程彰显了逻辑推理、数学建模及数学运算等数学学科核心素养.本题由f'(x)=0,得到一元二次方程2x2-2ax+2=0,再由韦达定理确定x1+x2=a,x1x2=1,0<x1<1<x2,然后运用分析法及等量代换消元,将问题转化为x2--2lnx2>0,之后构造新函数g(x)=x--2lnx(x>1),判断其单调性并求出最小值即可使命题得证. 三、触类旁通 1. 已知函数f(x)=lnx,若对任意x1,x2∈(0,+∞),[f(x1)-f(x2)]≥x2(mx1-x2)恒成立,则m的最大值为 (　　) A. -1 B. 0 C. 1 D. e 2. 已知函数f(x)=,g(x)=xe-x.若存在x1∈(0,+∞),x2∈R,使得f(x1)=g(x2)=k(k<0)成立,则（）2ek的最大值为 (　　) A. e2 B. e C. D. 3. 已知大于1的正数a,b满足<,则正整数n的最大值为 (　　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 4. 已知函数f(x)=alnx+x2-ax有两个极值点. (1) 求实数a的取值范围; (2) 设f(x)的两个极值点分别为x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值. 四、方法提炼 对于双变量问题,一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,利用两个变量之间的关系消元,建立新函数,最终将原问题转化为函数的最值问题来求解.双变量问题的常见题型与解题策略是: 1. 与函数单调性有关的双变量问题: 此类问题一般是给出含有双变量的不等式,通过变形把不等式的两边转化为同源函数,然后可利用函数单调性的定义构造单调函数,再利用导数求解. 2. 与零点或极值点有关的双变量问题: 与函数零点或极值点x1,x2有关的双变量问题,一般先由x1,x2是方程f(x)=0或f'(x)=0的两个根,确定x1,x2的关系,再通过消元将所给不等式转化为只含有x1或x2的关系式,然后构造函数解题,有时也可以把所给不等式转化为x1,x2的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于x1-x2的函数.若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数. 3. 独立双变量问题: 当两个变量之间的确定关系在解题过程中反复出现时,可通过变量的四则运算,把整体视为一个变量;若问题中两个变量没有明确的等式关系,有时可以把其中一个当作常数,另外一个当作自变量,从而达到消元的目的. 五、巩固反思 1. 已知函数f(x)=xex,g(x)=2xln2x.若f(x1)=g(x2)=t,t>0,则的最大值为 (　　) A. B. C. D. 2. 若=lnx2,令t=x2-x1,则t的最小值属于的区间是 (　　) A. （1,） B. （,2）