高频热点23 极值点偏移问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点23 极值点偏移问题 一、直击热点 函数的极值点偏移问题涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,不管待证的是含有两个变量的不等式,还是与导数值有关的不等式,解题的策略都是把含有双变量的等式或不等式转化为一元变量的等式或不等式求解,途径都是构造一元函数.这类试题在高考中往往作为压轴题,是高考的热点与难点. 二、热点问题 已知函数f(x)=xlnx-mx2-x,m∈R,若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证:x1x2>e2(e为自然对数的底数). 【深度剖析】证法1(由因导果,构造函数):  由题意,f'(x)=lnx-mx,令f'(x)=0,得m=. 设g(x)=,因为x1,x2是方程f'(x)=0的两个不同实根,所以g(x1)=g(x2). 由于g'(x)=,因此g(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减. 则0<x1<e<x2,要证明x1x2>e2,即证x2>,因为x2,∈(e,+∞),只需证明g(x2)<g（）,而g(x1)=g(x2),故只要证明g(x1)-g（）<0. 设h(x)=g(x)-g（）=-,x∈(0,e), 则h'(x)=>0,故h(x)在区间(0,e)上单调递增, 故h(x)<h(e)=0,即g(x)<g（）,则g(x2)=g(x1)<g（）, 因为x2,∈(e,+∞),g(x)在(e,+∞)上单调递减, 所以x2>,即x1x2>e2. 证法2(执果索因,构造函数):  欲证x1x2>e2,需证lnx1+lnx2>2. f(x)有两个极值点x1,x2,即函数f'(x)有两个零点. 又f'(x)=lnx-mx,所以x1,x2是方程f'(x)=0的两个不同实根. 显然m>0,否则函数f'(x)为单调函数,不符合题意. 由可得lnx1+lnx2=m(x1+x2), 要使lnx1+lnx2>2,只要m(x1+x2)>2,即证x1+x2>. 设g(x)=f'(x)-f'（-x）,x∈(0,),则g'(x)=>0, 故g(x)在(0,)上单调递增,所以g(x)<g（）=0,即f'(x)<f'（-x）. 令φ(x)=f'(x),由于φ'(x)=-m=, 所以f'(x)在（0,）上单调递增,在（,+∞）上单调递减, 设x1<<x2,令x=x1,则f'(x2)=f'(x1)<f'（-x1）. 因为x2,-x1∈（,+∞）,所以x2>-x1,即x1+x2>.原命题得证. 【题眼】 本题以经典函数为载体,研究单峰函数的极值点偏移问题,以此考查学生的逻辑推理、数据处理能力,以及转化与化归、函数与方程、数形结合等思想,试题情境为课程学习情境与探索创新情境.从不同角度分析问题,利用题目的结构特征构造新函数将所求问题转化为熟悉的问题是解决本题的突破口.方法1,由因导果,将方程f'(x)=lnx-mx=0变形为m=,构造新函数g(x)=,判断其单调性,利用g(x1)=g(x2),将其偏移到同一单调区间予以解决;方法2,执果索因,由f'(x2)=f'(x1)=0,得lnx1+lnx2=m(x1+x2),构造函数g(x)=f'(x)-f'（-x）,x∈（0,）,结合g(x)在（0,）上单调递增,得到g(x)<g（）=0,即f'(x)<f'（-x）,设x1<<x2,再由f'(x)的单调性, 得到x1+x2>. 三、触类旁通 1. 设函数f(x)=a2x--2alnax(a>0),函数f'(x)为f(x)的导数,A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)的图象上不同的两点,且满足f(x1)+f(x2)=0.记线段AB中点的横坐标为x0,求证:ax0>1. 2. (2021·新高考全国Ⅰ卷改编题)已知函数f(x)=x(1-lnx). (1) 讨论f(x)的单调性; (2) 设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,求证:+>2. 3. 设函数f(x)=x++(1-a)lnx+b,a,b∈R. (1) 讨论函数f(x)的单调性; (2) 当a=1时,若函数F(x)=f(x)+lnx-x恰有两个零点x1,x2(0<x1<x2),求证:+>2. 4. [2022·全国甲卷(理)]已知函数f(x)=-lnx+x-a. (1) 若f(x)≥0,求实数a的取值范围; (2) 求证:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1. 四、方法提炼 1. 极值点偏移问题主要研究的对象是单峰函数.已知f(x)的极值点为x0,且函数f(x)满足定义域内在x=x0左侧的任意自变量x都有f(x)>f(2x0-x)或f(x)<f(2x0-x),则函数f(x)极值点x0左、右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内不同的实数x1,x2,若满足f(x1)=f(x2),则与极值点x0必有确定的大小关系: