高频热点22 函数的隐零点问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点22 函数的隐零点问题 一、直击热点 用导数研究函数、方程、不等式是近几年高考压轴题中的热门考点.零点是导数中非常关键的点,找出这个点,我们可以知道函数的单调性、极值(或最值)、函数图象等实质性内容,然而在超越函数中,要解出零点几乎是不可能的,这类问题就是隐零点问题.如何灵活运用隐零点将超越方程有理化是突破难点的关键所在. 二、热点问题 设函数f(x)=e2x-alnx. (1) 讨论f(x)的导数f'(x)零点的个数; (2) 求证:当a>0时,f(x)≥2a+aln. 【深度剖析】(1) 由f(x)=e2x-alnx(x>0),则f'(x)=2e2x-. 令f'(x)=0,得2e2x=,即a=2xe2x. 构造函数h(x)=2xe2x,研究f'(x)零点的个数问题等价于研究y=a与函数h(x)=2xe2x在区间(0,+∞)上交点个数的问题. 因为h'(x)=e2x(4x+2)>0,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增, 所以h(x)>h(0)=0,即h(x)∈(0,+∞). 所以当a≤0时,y=a与h(x)=2xe2x在(0,+∞)上无交点; 当a>0时,y=a与h(x)=2xe2x在(0,+∞)上有唯一交点. 综上所述,当a≤0时,y=f'(x)无零点;当a>0时,y=f'(x)有一个零点. (2) 证明:当a>0时,由(1)可知f'(x)有唯一零点,设零点为x0. 当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,即f(x)单调递减, 当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)单调递增, 所以f(x)在x=x0处取得极小值,那么f(x)min=f(x0)=-alnx0. 又f'(x0)=2-=0,解得=, 两边分别取自然对数,得2x0=ln-lnx0,即lnx0=ln-2x0. 所以f(x0)=-a（ln-2x0）=+2ax0-aln≥2a-aln=2a+aln, 当且仅当=2ax0,即x0=时取等号. 所以f(x)≥2a+aln. 【题眼】 本题是函数综合问题,主要考查学生的理性思维、逻辑推理和数学运算能力,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,解题思想主要为转化与化归、函数与方程.对于隐零点问题,设而不求、实施化归是解题的有效手段.第(2)题利用了第(1)题的结论,当a>0时,y=f'(x)有一个零点,也是唯一的极小值点,但是我们无法求出该零点,于是采用了设而不求的思想,设x0为y=f'(x)的零点,巧妙回避了对x0的精确求解,虽然求不出x0,但是满足f'(x0)=0这个条件,即=,然后进行合理变形,得到lnx0=ln-2x0,在计算f(x0)=-alnx0时,将原式中的指数式、对数式代换成分式、整式,简化原式,从而更易得到待证的结论. 三、触类旁通 1. 已知函数f(x)=(x>0),若f(x)>恒成立,求整数k的最大值. 2. 已知函数f(x)=mxlnx-1(m≠0),g(x)=x2-x,若关于x的不等式f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围. 3. 已知函数f(x)=x-2ex,g(x)=-2lnx. (1) 求函数y=f(x)的单调区间; (2) 令h(x)=xf(x)+g(x),若x0为y=x2h'(x)的极值点,其中h'(x)为函数h(x)的导数,求证:4-2ln2<h(x0)<9-2ln2. 四、方法提炼 在解决难度较大的函数问题时,往往要先借助导数求函数的单调区间,再进行下一步求解.但在利用导数研究函数单调性的过程中,会面临解不等式f'(x)>0的问题,从图象的角度看,不等式f'(x)>0的解集即为y=f'(x)的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围,解集的区间端点即为导数y=f'(x)的零点,而有的导数f'(x)根据函数零点存在定理能够明确其存在零点,但无法用代数式表示出零点,这样的零点称为隐零点. 对于导数零点无法求出的情况,一般的处理策略是先证明导数的单调性,结合函数零点存在定理来判断零点存在,然后设出零点x0(设而不求),可以的话先估算零点x0的取值范围,接下来对f'(x0)=0这一等式进行变形代换,然后将原式中的指数式、对数式代换为较为简单的整式、分式,这样的式子会更易处理. 五、巩固反思 1. 已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根,则=　　　　.  2. 已知函数f(x)=ex-ln(x+2),求证:f(x)>0. 3. 已知函数f(x)=（2-）lnx(a∈R),是否存在整数λ,使得关于x的不等式f(x)≥λ 恒成立?若存在,求出λ的最大值;若不存在,请说明理由. $$