高频热点21 同构在函数问题中的应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点21 同构在函数问题中的应用 一、直击热点 近几年的高考数学压轴题一般是指数、对数混合型的函数综合问题,这类问题已成为新高考数学的标配和热点,且往往具有同构的特征.解决此类问题时需要深入分析,发现函数的结构和规律,构造新的函数模型,把原问题转化为比较简单或易于求解的新问题.用同构方法解决导数问题的过程也是数学发现与创造的过程. 二、热点问题 (2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna≥1,求实数a的取值范围. 【深度剖析】方法1(常规方法):  因为f(x)=aex-1-lnx+lna,则a>0,f'(x)=aex-1-. 设g(x)=f'(x),则g'(x)=aex-1+>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,即f'(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a=1时,f'(1)=0,所以f(x)min=f(1)=1,故f(x)≥1. 当a>1时,<1,所以<1,故f'（）f'(1)=a(-1)(a-1)<0, 所以存在唯一的x0>0,使得f'(x0)=a-=0. 且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0, 所以a=,所以lna+x0-1=-lnx0. 因此f(x)min=f(x0)=a-lnx0+lna=+lna+x0-1+lna≥2lna-1+2=2lna+1>1, 所以f(x)>1,故f(x)≥1成立. 当0<a<1时, f(1)=a+lna<a<1,所以f(1)<1,故f(x)≥1不恒成立. 综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞). 方法2(同构方法1):  将f(x)≥1按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形: 由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1移项得aex-1+lna≥lnx+1, 即elna+x-1+lna≥lnx+1,两边同时加(x-1),得elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+x, 即elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx. 构造g(x)=x+ex,则原不等式转化为g(lna+x-1)≥g(lnx). 因为g'(x)=1+ex>0,所以g(x)单调递增, 所以lna+x-1≥lnx,即x-lnx+lna-1≥0. 设h(x)=x-lnx+lna-1,则h'(x)=1-, 所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 所以h(x)min=h(1)=lna≥0,所以a≥1. 方法3(同构方法2):  f(x)=aex-1-lnx+lna≥1,即ex≥-lna+lnx+lne=ln, 所以ex≥ln,两边同乘以x,得xex≥(x)ln（x）. 构造h(x)=xex,则原不等式转化为h(x)≥h（ln(x)）, 易知h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x≥ln(x), 令x=t>0,则x=t>0, 所以原不等式转化为t≥lnt,即≥对t∈(0,+∞)恒成立. 易知y=在x=e处取得最大值,所以≥,即a≥1. 方法4:  将f(x)≥1按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形: 由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1移项得aex-1+lna≥lnx+1, 即elna+x-1+lna≥lnx+1,两边同时加(x-1),得elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+x, 即elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx. 构造g(x)=x+ex,则原不等式转化为g(lna+x-1)≥g(lnx). 因为g'(x)=1+ex>0,所以g(x)单调递增, 所以lna+x-1≥lnx,则x≥lnx+ln,即ln≤x-lnx. 构造函数h(x)=x-lnx,因为x-1≥lnx,所以h(x)=x-lnx≥1, 当x=1时,上式取等号,即ln≤1=lne,所以≤e,故a≥1. 【题眼】 本题是以指数、对数混合型函数为载体的函数综合问题,涉及指数式、对数式间的相互转化,试题情境为课程学习情境与探索创新情境,集中考查逻辑推理和数学运算能力.解题的数学思想为转化与化归和分类讨论,解题的关键是对指数式、对数式进行同构.方法2、4,通过变形发现elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx,构造函数g(x)=x+ex,将原不等式转化为g(lna+x-1)≥g(lnx),从而确定a的取值范围,这是解题的一个突破口;方法3,通过变形发现xex≥(x)ln(x),构造函数h(x)=xex,将原不等式转化为h(x)≥h(ln(x)),从而确定的取值范围,这是解题的另一个突破口. 三、触类旁通 1. 已知函数f(x)=aex+ln-2(a>0),若f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围. 2. 已知函数f(x)=x(e2x-a),若f(x)≥1+x+lnx,求实数a的取值范围. 3. 已知函数