高频热点20 构造函数证明不等式-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点20 构造函数证明不等式 一、直击热点 利用函数性质证明不等式是导数综合题常涉及的一类问题,也是近几年高考压轴题的热点题型,主要考查学生选择函数、构造函数的能力,体现了函数最值的重要地位(每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式),凸显了数学的理性思维. 二、热点问题 已知函数f(x)=exlnx+,求证:f(x)>1. 【深度剖析】证法1:  由题意,f(x)=exlnx+>1等价于xlnx>xe-x-. 设函数g(x)=xlnx,则g'(x)=1+lnx, 当x∈（0,）时,g'(x)<0,当x∈（,+∞）时,g'(x)>0, 故g(x)在（0,）上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g（）=-. 设函数h(x)=xe-x-,则h'(x)=e-x(1-x), 当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0, 故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-. 因为g(x),h(x)取得最值时的取值不同,所以当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1. 证法2:  由题意,f(x)=exlnx+>1等价于lnx+>, 因为ex≥ex,当且仅当x=1时等号成立,则≤　①,则证明lnx+≥0　②即可. 令g(x)=lnx+,g'(x)=-=, 所以g(x)在（0,）上单调递减,在（,+∞）上单调递增. g(x)min=g（）=0,所以lnx+≥0. 又因为①②等号成立的条件不同,所以lnx+>,即原不等式成立. 证法3:  令g(x)=xlnx,则g(e-x)=e-xlne-x=-xe-x, 原不等式等价于xlnx>xe-x-⇔xlnx+(-xe-x)>-,即g(x)+g(e-x)>-, 容易证明g(x)≥-,则g(e-x)≥-,且等号不能同时取到, 所以g(x)+g(e-x)>-,即原不等式成立. 证法4:  f(x)=exlnx+=ex-1（elnx+）>1　(*) , 令g(x)=elnx+,g'(x)=-=, 所以g(x)在（0,）上单调递减,在（,+∞）上单调递增. 则g(x)≥g（）=eln+e=eln2>0, 容易证明ex-1≥x,当且仅当x=1时等号成立, 则ex-1（elnx+）≥x（elnx+)=exlnx+2. 令h(x)=exlnx+2,则h'(x)=e(1+lnx), h(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 所以h(x)≥h(）=-1+2=1,因为ex-1≥x和h(x)≥1的等号不能同时取到,所以(*)式成立. 即f(x)=exlnx+>1. 【题眼】 本题是函数综合问题,是多视角应用函数最值的范例,彰显了数学抽象、理解推理的思维品质,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,主要考查学生的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验.解题的思想为转化与化归.从不同视角发现问题、创造条件、构造新函数是解决本题的关键.方法1,f(x)>1等价于xlnx>xe-x-,得到两个常见的函数,尝试计算一个函数的最小值和另一个函数的最大值;方法2,对于exlnx+>1,两边同时除以指数函数ex,得到lnx+>,对该式结构进行观察,并与常用不等式ex≥ex联系,找到解题的突破口;方法3,把xlnx中的x变成e-x,得到e-xlne-x=-xe-x,发现两个形式大相径庭的式子xlnx,-xe-x只是同一个函数在不同自变量下的函数值;方法4,由于exlnx难以处理,尝试利用常用不等式ex≥ex或ex-1≥x进行放缩,直接消掉指数函数. 三、触类旁通 1. (2021·全国乙卷改编题)设函数f(x)=ln(1-x),求证:<1. 2. 已知函数f(x)=xlnx-ex+1,求证:f(x)<sinx在(0,+∞)上恒成立. 3. 当x∈时,求证:3x2-sinx≤xe2x. 4. 已知函数f(x)=xex-a(lnx+x). (1) 当a>0时,求f(x)的最小值; (2) 若对任意x>0恒有不等式f(x)≥1成立,求证:x2ex>(x+2)lnx+2sinx. 四、方法提炼 利用导数证明不等式的关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值等,从而达到证明不等式的目的.一般应注意以下几点: 1. 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般可以直接构造“左减右”的函数,利用导数研究其单调性,借助所构造函数的单调性证明待证不等式. 2. 隔离分析法往往要在前面的问题中证明出某个不等式(用常用不等式放缩),在后续的问题中应用前面的结论,呈现出层层递进的特点. 3. 直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证不等式进行变形,构造两个函数,找到可