高频热点19 常见函数切线放缩的应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点19 常见函数切线放缩的应用 一、直击热点 高考命题历来遵循“源于课本而高于课本、似曾相识而若即若离”的规律,近年来以经典函数的切线不等式ex≥x+1为“根”的代数推理问题层出不穷,悄然成为一大考查热点.解决这类问题时,一般会涉及ex≥x+1或其变式的灵活运用,如lnx≤x-1,xlnx≥x-1等. 二、热点问题 设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex-a. (1) 求证:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点; (2) 若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O为坐标原点),求证:m≤-1. 【深度剖析】 (1) 因为f'(x)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2ex≥0,故f(x)在R上单调递增. 因为a>1,所以f(0)=1-a<0,又ea≥a+1(证明在本课中省略), 所以f(a)=(1+a2)ea-a>(1+a2)(a+1)-a=a3+a2+1>0. 根据函数零点存在定理,由f(0)f(a)<0,故f(x)在(0,a)上存在零点, 又f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (2) 因为f'(x)=(1+x)2ex,令f'(x)=0,解得x=-1, 又f(-1)=-a,由题意可得点P（-1,-a）,直线OP的斜率kOP==a-, 而f(x)在点M(m,n)处的切线的斜率f'(m)=(1+m)2em, 所以(1+m)2em=a-. 要证m≤-1,即证(m+1)3≤a-=(1+m)2em, 即证em≥m+1,而em≥m+1对m∈R恒成立, 则m≤-1得证. 【题眼】 本题以课本例题为基础进行了拓展延伸,主要检测学生对教学内容的理解程度,在此基础上运用所学的常见切线不等式,发现、分析新问题,并解决新问题,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,主要考查逻辑推理、数学抽象以及数学运算能力.对于本题,解题思想为数形结合、转化与化归,解题的关键是发现并创造运用常见切线不等式的条件.第(1)题中,在判断f(a)=(1+a2)ea-a的正负时,运用ea≥a+1放缩可以快速确定f(a)>0;第(2)题中,通过分析发现问题的本质就是em≥m+1,正本溯源,以此进行推理显得更为自然顺畅. 三、触类旁通 1. 若存在实数x,y满足lnx-x+3≥ey+e-y,则x+y等于 (　　) A. -1 B. 0 C. 1 D. e 2. 对于函数f(x),一次函数g(x)=ax+b,若f(x)≤g(x)恒成立,则称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”.若函数g(x)=x-1是函数f(x)=sin2x-aex,x≥0的一个“线性覆盖函数”,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. [1,+∞) C. [1,2] D. 3. 已知函数f(x)=xlnx+ax+1,a∈R. (1) 当x>0时,若关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围; (2) 当x∈(1,+∞)时,求证:<lnx<x2-x. 4. (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=xeax-ex. (1) 当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2) 当x>0时,f(x)<-1,求a的取值范围; (3) 设n∈N*,求证:++…+>ln(n+1). 四、方法提炼 1. 几个常见的函数切线不等式之间的相互关系: 课本题源: ex≥x+1　①.在①中用-x替换x,得e-x≥1-x,当且仅当x=0时等号成立;对①两边取自然对数,得x≥ln(x+1)(x>-1)　②,当且仅当x=0时等号成立;在②中用x-1替换x,得x-1≥lnx(x>0)　③,即lnx≤x-1,当且仅当x=1时,等号成立;在③中两边同乘以-1,得ln≥1-x(x>0)　④,当且仅当x=1时等号成立;在④中用替换x,得lnx≥1-(x>0)　⑤,当且仅当x=1时等号成立;在⑤中两边同乘以x,得xlnx≥x-1(x>0)　⑥,当且仅当x=1时等号成立. 2. 解题时,往往通过构造常见经典函数,灵活运用其切线不等式进行放缩处理. 五、巩固反思 1. 已知函数f(x)=aex+x(lna+x-lnx),若不等式f(x)≥x在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A. [1,+∞) B. C. D. 2. (多选)若ea-eb=1,a,b∈R,则 (　　) A. a-b≤ln2 B. 2a-b≥2ln2 C. b>lna D. a-b<e-b 3. 已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,求证:(x-1)f(x)≥0. 4. 已知函数f(x)=ex-x2. (1) 求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2) 求证:当x>0时,≥lnx+1. $$