高频热点18 多元变量的大小比较问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点18 多元变量的大小比较问题 一、直击热点 比较大小是高考的常见题型,通常在选择、填空的压轴题中出现,是高考的热点与难点.涉及指数式、对数式的大小比较的试题往往要构造函数并结合指数函数、对数函数的图象,利用函数的单调性比较大小,解决这类问题时要特别关注数形结合思想的运用. 二、热点问题 (2021·新高考八省联考)已知a<5,ae5=5ea;b<4,be4=4eb;c<3,ce3=3ec.则 (　　) A. c<b<a B. b<c<a C. a<c<b D. a<b<c 【深度剖析】方法1:  因为ae5=5ea,a<5,故a>0,同理b>0,c>0. 构造函数f(x)=(x>0),则f'(x)=, 当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, 故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 因为ae5=5ea,故=,即f(5)=f(a),而0<a<5, 故0<a<1,同理可得0<b<1,0<c<1,f(4)=f(b),f(3)=f(c). 因为f(5)>f(4)>f(3),故f(a)>f(b)>f(c), 所以0<a<b<c<1. 故选D. 方法2:  由ae5=5ea,两边取对数,得lna+5=ln5+a,变形得a-lna=5-ln5. 构造函数g(x)=x-lnx,则g'(x)=1-=, 当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0, 故g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 由题意,g(a)=g(5),a<5,则0<a<1, 同理可得0<b<1,0<c<1,g(4)=g(b),g(3)=g(c), 因为g(5)>g(4)>g(3),则g(a)>g(b)>g(c),所以a<b<c. 故选D. 【题眼】 本题以多元变量的大小比较为研究载体,探索了函数单调性的应用,突出了四基四能,培养了创新意识与创造精神,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,主要考查学生的逻辑推理和数学运算能力.解决本题的过程彰显了数学的理性思维,解题关键是对所求问题进行分析与转化.方法1,关注结构特征“=,=,=”,构造函数f(x)=,x>0,发现f(5)=f(a),f(4)=f(b),f(3)=f(c),研究函数f(x)=的单调性即可获解;方法2,指数、对数等价变形:ae5=5ea与lna+5=ln5+a等价,即a-lna=5-ln5,构造函数g(x)=x-lnx,发现g(a)=g(5),g(4)=g(b),g(3)=g(c),研究g(x)=x-lnx的单调性即可获解. 三、触类旁通 1. 在△ABC中,<A<B<C<,f(x)=cosx·ex,则下列结论中一定成立的是 (　　) A. f(A)>f(B)>f(C) B. f(A)<f(B)<f(C) C. f(A)>f(C)>f(B) D. f(B)<f(A)<f(C) 2. [2020·全国Ⅰ卷(理)]若2a+log2a=4b+2log4b,则 (　　) A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a<b2 3. (2022·新高考全国Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln0.9,则 (　　) A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b 4. (多选)已知aeb<bea<-ea+b+1,则下列结论中正确的有 (　　) A. a<b<-2 B. >1 C. ab+a+b+1>0 D. aea<beb 四、方法提炼 解决多元变量大小比较问题可以从所要研究的不等式的结构和特点出发,结合已有的知识,利用转化与化归的思想,构造一个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性解决问题.一般步骤是:构造可导函数→研究函数单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论. 五、巩固反思 1. [2020·新课标全国Ⅱ卷(文)]若2x-2y<3-x-3-y,则 (　　) A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0 C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0 2. 已知实数a,b,c满足ac=b2,且a+b+c=ln(a+b),则 (　　) A. c<a<b B. c<b<a C. a<c<b D. b<c<a 3. 设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b<blnb,则 (　　) A. ab>e B. b>ea+1 C. ab<e D. b<ea+1 4. (多选)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的有 (　　) A. ln2> B. ln3< C. lnπ> D. < $$