高频热点17 含参不等式恒（能）成立问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点17 含参不等式恒（能）成立问题 一、直击热点 已知不等式恒(能)成立求参数的取值范围问题是高中数学的重要内容,是函数、方程、不等式交汇处的一类较为重要的问题.这类问题以含参不等式恒(能)成立为载体,涵盖函数、方程、不等式等内容,综合性强,思想方法深刻,能力要求较高,凸显了创新意识和理性精神,成为近几年高考试题中的热点. 二、热点问题 已知函数f(x)=aex-4,g(x)=lnx-x-1,a∈R. (1) 若对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),求实数a的取值范围; (2) 若函数y=f(x)的图象始终在函数y=-2的图象的上方,求实数a的取值范围. 【深度剖析】 (1) 对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),等价于当x∈(0,1]时,f(x)max≥g(x)max,因为g(x)=lnx-x-1,则g'(x)=-1=≥0, 所以函数g(x)在区间(0,1]上单调递增,则g(x)max=g(1)=-2. 因为f(x)=aex-4,当a=0时,f(x)=-4,不满足f(x)max≥g(x)max,故a≠0; 当a>0时,f(x)=aex-4在(0,1]上单调递增, 所以f(x)max=ae-4,即ae-4≥-2,解得a≥; 当a<0时,f(x)=aex-4在(0,1]上单调递减,所以f(x)<a-4<g(x)max,不满足题意. 综上所述,实数a的取值范围为. (2) 因为y=f(x)的图象始终在y=-2的图象上方,所以f(x)>-2. 因为x>0,ex>0,所以a>==. 令t=xex,h(t)=,其中t>0,则h'(t)=. 当0<t<e2时,h'(t)>0,此时函数h(t)单调递增, 当t>e2时,h'(t)<0,此时函数h(t)单调递减, 所以h(t)max=h(e2)=,则a>. 综上所述,实数a的取值范围是（,+∞）. 【题眼】 本题是以经典函数为载体的代数推理问题,以导数为工具研究了函数的图象与性质,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,集中考查学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力以及理解推理、数学运算的能力.解题的思想有数形结合、分类讨论、转化与化归等.从解决本题的过程来看,转化与化归是突破口,第(1)题中,“对任意的x2∈(0,1],总存在x1∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2)”等价于“当x∈(0,1]时,f(x)max≥g(x)max”,这是解决问题的关键所在,然后利用单调性求出g(x)max,继而对实数a的取值进行分类讨论并分析函数f(x)在区间(0,1]上的单调性,求出f(x)max,可得出关于a的不等式,由此可解得实数a的取值范围;第(2)题利用参数分离法可得a>,然后令t=xex,构造函数h(t)=,利用单调性求得h(t)max,最后利用a>h(t)max确定实数a的取值范围. 三、触类旁通 1. 设函数f(x)=,g(x)=,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),不等式≤ 恒成立,则正数k的取值范围是 (　　) A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (-∞,1) D. (-∞,1] 2. 已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2alnx,g(x)=-(a+2)x,其中a∈R.若至少存在一个x0∈,使得f(x0)>g(x0)成立,则实数a的取值范围是　　　　.  3. 已知函数f(x)=+alnx(a∈R,且a≠0),若存在x0∈(0,e],使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围. 4. 已知函数f(x)=ex+sinx,若∀x∈R,不等式f(x)≥ax+1成立,求实数a的值. 四、方法提炼 利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略: 1. 通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而确定参数的范围. 2. 分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.有以下原则: (1) ∀x∈D,m≤f(x)⇔m≤f(x)min; (2) ∀x∈D,m≥f(x)⇔m≥f(x)max; (3) ∃x∈D,m≤f(x)⇔m≤f(x)max; (4) ∃x∈D,m≥f(x)⇔m≥f(x)min. 3. 若参数不易分离,就要考虑利用分类讨论法和放缩法解决问题,注意恒成立与有解问题的区别. 五、巩固反思 1. 已知函数f(x)=ex-b+ax(a,b∈R),且f(0)=1,当x>0时,f(x)>xcos(x-1)恒成立,则a的取值范围为 (　　) A. (0,+∞) B. (1-e,+∞) C. (-∞,e) D. (e,+∞) 2. 若存在x∈R,使得不等式(x2-2x)ex≤2x+aex成立,则实数a的最小值为 (　　) A. - B. -1- C. -1- D. 1- 3