高频热点7 概率与统计的创新题型-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点7 · 概率与统计的创新题型 一、直击热点 在数据分析核心素养的形成过程中,学生能够提升数据处理的能力,增强基于数据表达现实问题的意识,养成通过数据思考问题的习惯.概率与统计的应用问题常涉及相互独立事件同时发生的概率、独立重复实验、超几何分布、二项分布、独立性检验、线性回归等知识,考查学生的阅读理解、数据处理、运算求解能力及应用意识. 二、热点问题 某通信运营商从运营系统中选出300名客户,统计他们对业务水平和服务水平的评价,其中业务水平的满意率为,服务水平的满意率为,对业务水平和服务水平都满意的客户有180名. (1) 完成下列2×2列联表,并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关. 单位:人 业务水平 服务水平 合计 满意 不满意 满意 不满意 合计 　　(2) 为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取2名征求改进意见,用X表示抽取出的2名客户中对业务水平不满意的人数,求X的分布列与数学期望. (3) 只对其中一项不满意的客户流失率为34%,对两项都不满意的客户流失率为85%.从该运营若用频率表示概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%,系统中任选4名客户,则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少? 【深度剖析】(1) 由题意知对业务水平满意的有260人,对服务水平满意的有200人,得2×2列联表: 单位:人 业务水平 服务水平 合计 满意 不满意 满意 180 80 260 不满意 20 20 40 合计 200 100 300 得χ2==≈5.77>5.024, 所以有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关. (2) 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,则X~H(2,20,100), 所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 所以随机变量X的分布列为: X 0 1 2 P 所以随机变量X的数学期望为 E(X)=0×+1×+2×=(或E(X)==). (3) 在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为×5%=,只对一项满意的客户流失的概率为×34%=,对二者都不满意的客户流失的概率为×85%=, 所以从运营系统中任选1名客户,该客户流失的概率P==. 设在业务服务协议终止时,从运营系统中任选4名客户,有Y名客户流失,则Y~B(4,), 所以至少有2名客户流失的概率P=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-×()4-×()3×=. 【题眼】本题以实际生活问题为载体,旨在考查学生数据分析和应用的能力以及运用概率统计的思想解决实际问题的能力,试题情境为课程学习情境和生活实践情境.解决本题的关键是结合数据分析,合理运用概率统计模型.在第(1)题中,根据所给数据,得到2×2列联表,计算χ2后比较临界值即可得出结论;在第(2)题中,判断出随机变量X~H(2,20,100),然后列出随机变量的分布列,求数学期望;在第(3)题中,由互斥事件和的概率公式计算出从运营系统中任选1名客户,该客户流失的概率为,从运营系统中任选的4名客户流失的人数Y~B(4,),根据二项分布求解即可. 三、触类旁通 　(第1题图) 1. (多选)如图为一散点图,在5组(x,y)数据中去掉点D(3,10)后,下列说法中正确的有 (　　) A. 经验回归方程不变 B. 样本相关系数r变大 C. 各组数据对应的点到回归直线的距离的平方和变小 D. 变量x与变量y的相关性变强 2. 为了解人们对于某地区新颁布的“生育二孩放开”政策的态度,现在某市进行调查,从5~65岁的人群中随机抽取了n人,得到如下调查统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图: 分组 支持“生育二孩放开”政策的人数 占本组的频率 [5,15) 4 0.8 [15,25) 5 p [25,35) 12 0.8 [35,45) 8 0.8 [45,55) 2 0.4 [55,65] 1 0.2 (第2题图) (1) 求n，p的值; (2) 根据以上统计数据填写下面2×2列联表,并根据小概率值α=0.01的独立性检验,判断能否认为以45岁为分界点的不同人群与“生育二孩放开”政策的支持度有关系. 单位:人 态度 年龄 合计 不低于45岁 低于45岁 支持 不支持 合计 3. (2022·新高考全国Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组)