高频热点6 非线性回归问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点6 非线性回归问题 一、直击热点 数据分析是大数据时代数学应用的主要方法,已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面.高考中的回归分析要求学生会作两个相关变量的数据的散点图,能利用散点图认识变量间的相关关系;能运用最小二乘法的思想,根据给出的线性回归方程的系数公式,建立和简单运用线性回归方程或可转化为线性的非线性回归方程. 二、热点问题 新能源汽车产业在近几年得到了快速发展,以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图: 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 　　(1) 某位同学根据以上数据和散点图,得出y与x的两种回归模型:① y=bx+a;② y=cx2+d.请判断哪一种模型更合适.(给出判断即可,不必说明理由) (2) 根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程,并预测2022年该新能源乘用车的销售量.(精确到0.1) (3) 我们可以用来刻画回归模型的拟合效果,R2越接近1,表示拟合的效果越好.现根据散点图的样本点分布,也可认为样本点集中在曲线y=menx的附近,用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.84e0.90x,且R2=0.958 8.试与(2)中所求的回归模型比较,请用R2说明哪种模型的拟合效果更好. 参考数据: 22.72 11 5.86 1 943 374 135.2 851.2 【深度剖析】(1) 根据散点图,y=cx2+d更适合作为年销售量y关于年份代码x的回归方程. (2) 设 =-=22.72-2.28×11=-2.36,=2.28w-2.36=2.28x2-2.36, 所以=2.28x2-2.36.把x=6代入,得=79.72. 故预测2022年该新能源乘用车的销售量为79.7万辆. (3) 对于(2)中所求得的线性回归模型, 因为0.958 8<0.997 0,所以(2)中的回归模型=2.28x2-2.36比题中回归模型=0.84e0.90x的拟合效果更好. 【题眼】　本题利用散点图考查变量间的相关关系,旨在检测学生的数据分析与应用能力以及数学运算能力,试题情境为课程学习情境和生活实践情境.解决本题的关键是分析数据的特点,科学合理地选择数据拟合模型.在第(1)题中,根据散点图可直观判断年销售量y关于年份代码x的回归方程类型为y=cx2+d;在第(2)题中,通过代换,将非线性相关转化为线性相关,先求线性回归方程,再回代得回归方程;在第(3)题中,通过计算(2)中的模型刻画回归效果的决定系数的大小,即可判断回归方程的拟合效果. 三、触类旁通 1. 在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,6)都在曲线y=bx2-的附近波动,且,则实数b的值为　　　　.  2. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表: 广告费用x/万元 16 4 8 32 销售额y/万元 49 26 39 54 根据上表可得回归方程=log2x+,其中=9.4.据此模型预测:当广告费用为64万元时,销售额为　　　　万元.  3. 从超市里买回来的蔬菜仍有农药残留,食用时需要清洗数次.统计表中的x表示清洗蔬菜的次数,y表示清洗x次后1 kg该蔬菜残留的农药量(单位:μg): 　(第3题图) x/次 1 2 3 4 5 y/μg 4.5 2.2 1.4 1.3 0.6 (1) 在如图坐标系中描出散点图,并根据散点图判断=x+与=e-x+哪一个更适合作为1 kg该蔬菜残留的农药量关于清洗次数x的回归方程类型.(给出判断即可,不必说明理由) (2) 根据(1)中判断及下面表格中的数据,建立y关于x的回归方程.（表中 3 2 0.12 10 0.09 -8.7 0.9 (3) 根据所求的回归方程列残差表,并判断拟合效果. 附:① R2>0.95说明拟合的效果非常好; ② 四、方法提炼 回归分析问题的类型及解题方法: 1. 求回归方程: (1) 根据散点图判断两变量是否线性相关,若不是,应通过换元构造线性相关; (2) 利用公式,求出回归系数; (3) 利用回归直线过样本点的中心,求系数. 2. 利用回归方程进行预测,把线性回归方程看作一次函数,求函数值. 3. 利用回归直线判断两变量的正、负相关情况,决定两变量是正相关还是负相关的是系数. 4. 回归方程的拟合效果可利用决定系数 五、巩固反思 1. (多选)下列四个命题中正确的有 (　　) A.