高频热点4 利用递推关系求数列通项公式-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点4 利用递推关系求数列通项公式 一、直击热点 数列的递推关系是数列的本质属性,等差数列和等比数列都是特殊的递推数列.利用数列的递推关系研究数列的通项公式是高考的重要内容.这类试题新颖多变,旨在考查学生的逻辑推理和数学运算能力,要求学生能通过数列前n项和与通项之间的关系、连续两项或三项之间的递推关系,将所求问题转化为熟悉的等差数列和等比数列问题予以解决.这类试题以中等难度题为主,其中选择题、填空题的难度高于解答题的难度. 二、热点问题 已知数列的前n项和为Sn,且Sn+1+Sn=2n2+n+λ,n∈N*(其中λ∈R). (1) 求证:当n≥3时,an+1-an-1=4. (2) 是否存在常数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值,并求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由. 【深度剖析】(1) 证明:因为Sn+1+Sn=2n2+n+λ,n∈N*　①, 所以Sn+Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+λ,n≥2　②. ①②两式相减,得an+1+an=4n-1,n≥2　③, 所以an+an-1=4n-5,n≥3　④. ③④两式相减,得当n≥3时,an+1-an-1=4,命题得证. (2) 假设存在常数λ,使得为等差数列,设{an}的公差为d. 由(1)知a4-a2=2d=4,所以d=2.由③得a3+a2=2a1+3d=7,解得a1=, 又因为S2+S1=3a1+d=3+λ,所以λ=.此时an=+2(n-1)=2n-,Sn==, 所以Sn+1+Sn=+==2n2+n+λ对n∈N*恒成立. 故存在λ=,使得数列为等差数列,且an=2n-(n∈N*). 【题眼】本题旨在探索数列前n项和与通项之间的关系,属于常见的数列递推问题,试题情境为课程学习情境与探索创新情境,主要考查逻辑推理和数学运算能力.转化与化归是解决本题最基本的思想.第(1)题,利用Sn与an之间的关系,将条件转化为an+1+an=4n-1(n≥2),an+an-1=4n-5(n≥3),两式相减得an+1-an-1=4,在解决问题的过程中考查了数学运算和数据分析能力.第(2)题,先从前几项归纳猜想得到λ=,并通过连续两项Sn的递推关系,由等式恒成立,确定其存在性,解决问题的过程体现了从特殊到一般的数学思想. 三、触类旁通 1. (多选)设首项为1的数列的前n项和为Sn,若Sn+1=2Sn+n-1,则 (　　) A. 数列为等比数列 B. 数列的通项公式为an=2n-1-1 C. 数列为等比数列 D. 数列的前n项和为2n+2-n2-n-4 2. (多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷改编题)记Sn为数列的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列,则满足an≤10的n的值可以为 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知数列的前n项和为Sn,a2=6,Sn=an+1+2,则Sn=　　　　.  4. [2021·全国乙卷(理)]记Sn为数列的前n项和,bn为数列的前n项积,已知+=2. (1) 求证:数列是等差数列; (2) 求数列的通项公式. 四、方法提炼 等差、等比数列是我们最熟悉的数列,大多数递推数列的构造都离不开等差、等比数列.对于题目条件涉及数列的前n项和Sn和通项an的问题,我们一般将已知条件转化为Sn+1与Sn的递推关系或an+1与an的递推关系,通过构造新数列将所求问题转化为熟悉的等差、等比数列问题加以解决.几种常用的递推数列构造办法: 1. 递推公式形如an+1=pan+q,n∈N*,p≠1且p,q不为零时,可构造an+1-t=p(an-t),利用等比数列相关知识加以解决. 2. 递推公式形如an+1=pan+qan-1,且p,q不为零时,可构造an+1-san=t(an-san-1),利用等比数列相关知识加以解决. 3. 递推公式形如an+1=时,可先对递推公式两边同时取倒数,再解决问题。 五、巩固反思 1. 已知数列的前n项和为Sn,且2Sn=an+2n,则下列说法中正确的是 (　　) A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等差数列 D. 数列为等比数列 2. 已知数列满足a1=1,an+1=.设数列的前n项和为Sn,则 (　　) A. <S100<3 B. 3<S100<4 C. 4<S100< D. <S100<5 3. 已知数列满足a1=,且an=(n≥2,n∈N*),则数列的通项公式为　　　　　　　　.  4. 已知数列的前n项和为Sn,且a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数. (1) 求证:an+2-an=λ. (2) 是否存在实数λ,使得为等差数列?并说明理由. $$