高频热点5 数列中的奇数项、偶数项问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点5 数列中的奇数项、偶数项问题 一、直击热点 近年来,在高考的数列问题中常常以奇数项、偶数项分段的形式给出数列的递推关系,或者需要学生通过讨论奇数项和偶数项的情况来分析与解决问题.这类问题重点考查分类讨论思想,对数学推理和数学运算能力的要求较高,题目新颖多变,已成为高考的一大热点.这类试题以中等难度题为主,其中选择题、填空题的难度高于解答题的难度. 二、热点问题 (2021·新高考全国Ⅰ卷)已知数列满足a1=1,an+1= (1) 记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列的通项公式; (2) 求数列的前20项和. 【深度剖析】（1）b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=2+3=5.当n≥2时, bn=a2n=a2n-1+1=a2n-2+2+1=a2n-2+3=bn-1+3, 即是以2为首项, 3为公差的等差数列, 故bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1. （2）方法1:当n为奇数时,an=an+1-1,故S20=a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=a2-1+a2+a4-1+a4+…+a20-1+a20=2×(b1+b2+…+b10)-10=2×-10=300. 方法2: 设cn=a2n-1,则当n≥2时,cn=a2n-1=a2n-2+2=a2n-3+1+2=a2n-3+3=cn-1+3,所以cn=c1+(n-1)d=1+(n-1)×3=3n-2.故S20=a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=(c1+c2+…+c10)+(b1+b2+…+b10)=+=300. 方法3: 由(1)知,bn=3n-1.设cn=a2n-1,易得cn=3n-2.记dn=bn+cn=(3n-1)+(3n-2)=6n-3, 则S20=d1+d2+…+d10==300. 【题眼】本题中的数列是分奇数项和偶数项给出的,试题情境为课程学习情境和探索创新情境,主要考查数据分析、逻辑推理以及数学运算能力.转化与化归是解决本题的核心思想.第(1)题,由an与bn的定义,结合赋值法求得b1,b2,然后由特殊到一般,得到的递推关系式,进而求得的通项公式.第(2)题,方法1利用了题干中的递推关系式,将的奇数项求和化归为偶数项求和,为常规方法;方法2沿用了研究偶数项的方法研究了奇数项,虽计算量上增加了一点,但思维量降低了一点;方法3,在得出奇数项与偶数项的通项之后采用了并项求和法,解决问题的过程更为快捷. 三、触类旁通 1. (多选)已知数列的首项a1=m,且满足4an+1=[7-5·]·an+2-2·,其中n∈N*,则 (　　) A. 当m=1时,有an=an+3恒成立 B. 当m=21时,有an+4=an+7恒成立 C. 存在m∈N*,使得a109=a111成立 D. 当m=2k(k∈N*)时,有an+k=an+k+3恒成立 2. [2020·新课标全国Ⅰ卷(文)]已知数列满足an+2+(-1)nan=3n-1,且前16项和为540,则a1=　　　　.  3. 已知数列满足a1=10,a2=5,an+2-an=-2. (1) 求数列的通项公式; (2) 记数列的前2n项和为S2n,当S2n取得最大值时,求n的值. 4. 已知数列满足a1=1,an+1= (1) 求a4; (2) 记bn=a2n+2,求证:数列为等比数列. 四、方法提炼 对于分奇数项、偶数项给出数列通项公式an=的相关问题,我们将其称为数列中的奇数项、偶数项的问题. 1. 对于上面的例题,我们还可以进行如下的进一步研究: (1) 求数列的通项公式; (2) 求数列的前n和Sn. 分析:(1) a2k-1=a1+(k-1)×3=3k-2,a2k=a2+(k-1)×3=3k-1, 所以当n为奇数时,an=3×-2=;当n为偶数时,an=3×-1=. (2) S2k=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k)=+=3k2, 又S2k-1=S2k-a2k=3k2-3k+1,所以当n为偶数时,Sn=3×=; 当n为奇数时,Sn=3×()2-3×+1=. 通过由特殊到一般的方法研究了{an}的通项公式和前n项和公式,发现引进数列的奇、偶子数列和,再利用n与k的代换求解更快捷方便. 2. 有关数列中的奇数项、偶数项问题的常见题型: (1) 数列中连续两项和或积的问题[an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n)]; (2) 含有(-1)n的类型; (3) 含有{a2n},{a2n-1}的类型; (4) 已知条件明确的奇数项、偶数项问题. 对于通项公式分奇数项、偶数项,有不同表达式的数列{an},求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把a2k-1+a2k看作一项