高频热点1 恒等变换中的变角与变式-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点1 三角恒等变换中的变角与变式 一、直击热点 三角函数求值问题始终是高考的一大热点,高考数学不仅考查学生正确运用三角公式进行计算的能力,更关注学生灵活运用公式解决问题的思维品质.学生既要关注角的变换,又要关注公式的变形运用,学生应能够灵活选用公式及其变式,建立合适的解题途径.三角函数求值问题往往难度不大,但对运算的要求较高.多选题、结构不良题等题型的出现,丰富了三角函数求值问题的命题情境,增加了问题的开放性,这类试题应引起学生的重视. 二、热点问题 已知 = -,则sin（2α+）等于 (　　) 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. - B. C. - D. 【深度剖析】方法1(常规解法):  由=-,可得=-,即3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-. 当tanα=2时,sin2α==,cos2α==-,所以sin（2α+）=(sin2α+cos2α)=. 当tanα=-时,sin2α==-,cos2α==,所以sin（2α+）=(sin2α+cos2α)=. 故选D. 方法2(利用方程思想):  由=-,可得=-. 可设sinαcos（α+）=-2k　①,cosαsin（α+）=3k　②, ①+②得cosαsin（α+）+sinαcos（α+）=sin=sin（2α+）=k, ②-①得cosαsin（α+）-sinαcos（α+）=sin=sin=5k,所以sin（2α+）=k=. 故选D. 方法3(变角变式):  设sin（2α+）=t,则=t,所以t===. 因为=-,即tan（α+）=-tanα,所以t==,所以sin（2α+）=t=.故选D. 【题眼】 本题是三角恒等变换的经典问题,要求学生能够灵活运用三角公式变角、变式,试题情境为课程学习情境.解决本题的思路宽泛,关键是把握题目的结构特征,通过变角达到变式的目的.方法1的思路是根据条件,利用两角和的正切公式,得到关于tanα的一元二次方程,求得tanα=2或tanα=-,然后分类讨论,运用倍角公式求出sin2α和cos2α,由sin（2α+）=(sin2α+cos2α),求得sin（2α+）=;方法2的思路是分析所求三角函数式的结构,将所给条件切化弦,得到=-,然后设sinαcos（α+）=-2k,cosαsin（α+）=3k,构造关于α和k的方程组,利用两角和与差的三角公式求得sin（2α+）=k=,方程思想的引入,使问题快速获解;方法3的关键是视所求三角函数式为一个整体,设sin（2α+）=t,构造=t,同时变角、变式得到t=,再由已知条件化简代入即可获解. 三、触类旁通 1. (2021·全国甲卷)若α∈(0,),tan2α=,则tanα的值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2. (多选)已知α,β∈(0,π),sin(α+)=,cos(β-)=,则sin(α-β)的值可能为 (　　) A. - B. - C. D. 3. 已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,则tanα的最大值为 (　　) A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知函数h(x)=sin(x+),g(x)=cos(x-),从下列三个条件中选择一个作为已知条件,求: (1) f(x)的单调递减区间; (2) f(x)在区间上的取值范围. 条件① f(x)=h2(x)+g2(x);条件② f(x)=h(x)-g(x);条件③ f(x)=h(x)·g(x). 四、方法提炼 在解决三角恒等变换的问题时,应首先观察角的差异,从角的关系入手思考和分析问题,注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异,同时要掌握三角公式的结构特征,在求值、化简时,要选择适当的三角公式进行恒等变换. 常见的变角有2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β, ,等等.变角是为变式创造条件,这是由未知向已知转化的重要途径.变式就是根据题目的结构特征,正用公式、逆用公式以及创造条件灵活运用公式.变角与变式往往是相互配合,同时进行的. 五、巩固反思 1. 已知cos(α-)=,则sin(2α+)+cos2(-)的值为 (　　) A. B. C. D. 1 2. (多选)随着健康意识的提升,越来越多的人走出家门健身,身边的健身步道成了人们首选的运动场所.如图,某公园内有一个以O为圆心、半径为5、圆心角为的扇形人工湖OAB,OM,ON是分别由OA,OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系,主管部门准备在公园内增建三条健身步道,其中一条与相切于点F,且与OM,ON分别相交于点C,D,另两条是分别和湖岸O