高频热点3 巧用极化恒等式优化向量数量积的计算-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点3 巧用极化恒等式优化向量数量积的计算 一、直击热点 平面向量的数量积是高考的热点,利用极化恒等式是优化向量数量积计算的有效手段.利用向量的极化恒等式可以对共起点(或终点)的两向量的数量积进行快速转化,凸显了向量的几何属性,让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能.极化恒等式搭建了向量数量积与几何长度之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合.我们在研究向量的数量积问题时,要分析题目的结构特征,对于一些特殊的平面图形,可创造运用极化恒等式的条件,从而实现快速解题的目的. 二、热点问题 如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,且·=4,·=-1,则·的值为 (　　) A. B. C. D. 【深度剖析】方法1 (坐标法):以直线BC为x轴,过点D且垂直于BC的直线为y轴,建立如图平面直角坐标系.设点A(3a,3b),B(-c,0),C(c,0),则有E(2a,2b),F(a,b),所以·=(3a+c,3b)·(3a-c,3b)=9a2-c2+9b2=4,·=(a+c,b)·(a-c,b)=a2-c2+b2=-1,所以a2+b2=,c2=.则·=(2a+c,2b)·(2a-c,2b)=4a2-c2+4b2=.故选D. 方法2(基向量法): ·=(-)·(-)===4,·=(-)·(-)==-1,因此=,=,所以·=(-)·(-)===.故选D. 方法3(极化恒等式法): 设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.根据向量的极化恒等式,·=-=9n2-m2=4,·=-=n2-m2=-1.联立解得n2=,m2=.因此·=-=4n2-m2=,即·=.故选D. 【题眼】本题是以平面图形为载体的向量数量积的综合问题,主要考查平面向量的分解与合成以及数量积的计算,试题情境为课程学习情境.基于题目的结构特征以及所给条件,坐标法和基向量法中规中矩,是常规解法.方法1的关键是建系设点后运用数量积的坐标公式进行代数运算;方法2的关键是选择一组恰当的基向量,将相关向量用基向量表示,结合数量积的运算法则,将条件与结论都转为线段长度(即数量)来计算.在一些特殊的平面图形中,极化恒等式往往可以优化解题过程,如方法3,抓住了题目的结构特征(中点与三等分点),三次运用极化恒等式,数形结合,对问题实现“秒杀”,化繁为简,极大地优化了解题过程. 三、触类旁通 1. 已知平面向量a,b满足=1,则a·b的最大值为 (　　) A. B. C. D. 2. (2017·新课标全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是 (　　) A. -2 B. - C. - D. -1 3. 已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,P是圆O上的一个动点,则·的取值范围是　　　　.  4. 在三棱锥S⁃ABC中,SA,SB,SC两两垂直,且SA=SB=SC=2,M为三棱锥S⁃ABC的外接球面上任意一点,则·的最大值为　　　　.  四、方法提炼 1. 极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. 几何意义:如图①,向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的. (1) 平行四边形模式:如图②,在平行四边形ABCD中,O是对角线交点.则·=[AC2-BD2]. (2) 三角形模式:如图③,在△ABC中,设D为边BC的中点,则·=AD2-BD2. 2. 利用极化恒等式求向量数量积的定值问题的步骤: (1) 取第三边的中点,连接向量的起点与中点; (2) 利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差; (3) 求中线及第三边的长度,从而求出向量的数量积. 五、巩固反思 1. 设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b的值为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 在△ABC中,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·,则 (　　) A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90° C. AB=AC D. AC=BC 3. 在面积为2的△ABC中,E,F分别是边AB,AC的中点,点P在直线EF上,则·+的最小值是　　　　.  4. 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点,则·的值为　　　　.  $$