高频热点2 三角形中的范围、最值问题 -【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习导学案word

高频热点2 三角形中的范围、最值问题 一、直击热点 以三角形为载体,正、余弦定理为工具,研究三角形中的相关几何量的取值范围和最值问题是近年来高考的热点,这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力.新高考实施以来,多选题和结构不良等新题型的出现,使命题情境更加丰富,开放性更强.这类试题一般为中等难度,但题目相对综合,涉及的知识点较多,可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决. 二、热点问题 在△ABC中,若+=3,则cosA的最小值为 (　　) A. B. C. D. 【深度剖析】方法1(常规法——切化弦): 由题意得tanA(+)=3, 即(+)=()==3,结合正弦定理有a2=3bccosA=,则b2+c2=a2.又cosA===(+)≥,所以cosA的最小值为.故选C. 方法2(参数法——引进新变量): 由题意得tanA·=3,且tanA=-. 令x=tanBtanC,y=tanB+tanC,则=-,即y2=3x(x-1).又y2=(tanB+tanC)2=tan2B+tan2C+2tanBtanC≥4tanBtanC=4x,即y2=3x(x-1)≥4x,解得x≤0或x≥.又tanA=(x≤0或x≥),若tanA<0,即A为钝角,则△ABC中,B,C都为锐角,x>0,y>0,与tanA=<0矛盾,所以tanA>0.所以tan2A==≤,则cos2A=≥, 即cosA≥.所以cosA的最小值为.故选C. 方法3(构造法——构造二次方程): 由题意得+=,且tanC=-, 若A>,则tanA<0,tanB>0,tanC>0,有+<0,与题意矛盾,故0<A<.消去tanC后有tan2B(tan2A-3)-3tanAtanB+tan2A=0,将该式看作关于tanB的一元二次方程, 由判别式Δ=9tan2A-4tan2A(tan2A-3)≥0,得tan2A≤,又cos2A=≥,所以cosA≥. 所以cosA的最小值为.故选C. 【题眼】本题以三角形为载体,要求学生在三角形条件的制约下运用三角公式,构造方程、函数、不等式求最值,使相关数学知识与方法在三角形模型中互联互通,重点考查数学知识之间的相互转化能力.本题的试题情境为课程学习情境与探索创新情境,解题的数学思想是转化与化归,解题突破口是分析题目的结构特征,构造函数、方程或不等式.方法1的核心是切化弦后,利用正、余弦定理将角转化为边,得到,然后创造运用基本不等式的条件,以确定cosA的最小值;方法2,先分析所给式子的结构特征,结合两角和的正切公式,通过换元构造关于x的函数（x≤0或x≥）,确定该函数的最大值,进而求得cosA的最小值;方法3的关键是结合两角和的正切公式消去tanC,得到关于tanB的一元二次方程tan2B(tan2A-3)-3tanAtanB+tan2A=0,利用该方程有解,得到tanA的最大值,由此确定cosA的最小值. 三、触类旁通 1. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,角B为锐角,且2sinAsinC=sin2B,则的取值范围为 (　　) A. (1,) B. (,) C. (,) D. (,) 2. (多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=,则 (　　) A. ac的最小值是4 B. ac的最大值是4 C. a+3c的最小值是3+2 D. a+3c的最小值是4+2 3. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB-bcosA=,当tan(A-B)取得最大值时,角B的值为　　　　.  4. (2022·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1) 若C=,求B; (2) 求的最小值. 四、方法提炼 任何范围或最值问题,其本质都是函数问题,三角形中的范围或最值问题也不例外.三角形中的范围或最值问题,常常需利用正、余弦定理将其化成边的问题,然后利用基本不等式或函数求最值;或者将其化成角的问题,利用三角公式将所给式子化成一个角的三角函数式,利用三角函数的图象与性质求最值.解题时要根据条件建立所求量(或式子)与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,所求量(或式子)的值作为函数值,将上述关系转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题,同时要注意三角形自身范围的限制,尽量完善角或边的范围(也就是函数的定义域),避免结果的范围过大.另外,除遵循函数问题的基本解法外,三角形中的范围或最值问题还有自己独特的解法,如可以结合三角形的结构特征,通过换元构造函数、消元构造方程等加以解决.