高频热点5 数列中的奇数项、偶数项问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点5　数列中的奇数项、偶数项问题 基础巩固 1. 在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为 (　　) A. 2 500 B. 2 600 C. 2 700 D. 2 800 2. 在数列中,a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1,a2n+2-a2n+1=a2n,则数列的前12项和为 (　　) A. 364 B. 728 C. 907 D. 1 635 3. (多选)数列满足:a1=1,an+1=且bn=a2n-2.则下列选项中是数列中的项的有 (　　) A. - B. - C. - D. - 4. 若不等式(-1)n·a<3+对任意的正整数n恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  5. 已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=4n. (1) 求数列{an}的前100项和S100; (2) 求数列{an}的通项公式. 6. 已知数列满足a1=1,an+1= (1) 从下面两个条件中选一个,写出b1,b2,并求数列的通项公式. ① bn=a2n-1+3; ② bn=a2n+1-a2n-1. (2) 求数列的前n项和Sn. 综合应用 7. 已知数列{bn}满足b1=1,b2=4,bn+2=bn+cos2,则该数列的前23项和为 (　　) A. 4 194 B. 4 195 C. 2 046 D. 2 047 8. (多选)定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列是等积数列,且a1=3,前7项和为14,则下列结论中正确的有 (　　) A. an+2=an B. a2= C. 公积为1 D. anan+1an+2=6 9. 已知数列满足an+1+an=11-n+(-1)n,且0<a6<1.记数列的前n项和为Sn,则当Sn取得最大值时,n为　　　　.  10. 已知数列满足:a1=1,当n∈N*时,a2n=a2n-1+(-2)n-1,a2n+1=a2n+4n. (1) 求a2,a3,数列的通项公式; (2) 记bn=a2n+2-a2n,求证:++…+<. 拓广探索 11. 已知数列的通项公式为an=(k∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,若∃m∈N*,使S2m=atS2m-1(t∈N*),求at. 12. 已知数列的前n项和为Sn,且Sn=(-1)nan++n-3.若(t-an+1)(t-an)<0恒成立,求实数t的取值范围. $$高频热点5　数列中的奇数项、偶数项问题 1. B　【解析】 当n为奇数时,an+2-an=0,所以an=1;当n为偶数时,an+2-an=2,所以an=n.故an=于是S100=50+=2 600. 2. C　【解析】 数列的首项a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1,则a3=3a1=3,a5=3a3=9,a7=3a5=27,a9=3a7=81,a11=3a9=243,由于a2n+2-a2n+1=a2n,则a2n+2=a2n+1+a2n,故a4=a3+a2=4,a6=a5+a4=13,a8=a7+a6=40,a10=a9+a8=121,a12=a11+a10=364,所以数列的前12项和为1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+364=907.故选C. 3. BC　【解析】 由题意可得a2=a1+1=×1+1=,b1=a2-2=-2=-,=====,所以数列是以为公比,-为首项的等比数列,所以bn=-×=-,所以-和-是中的项.故选BC. 4. 　【解析】 n为偶数时,a<,即a<3-=;n为奇数时,-a<,即-a≤3,所以a≥-3.综上,实数a的取值范围是. 5. 【解析】 (1) 因为a1=1,an+1+an=4n,所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=4×1+4×3+…+4×99=4×(1+3+5+…+99)=4×502=10 000.　(2) 由题意,an+1+an=4n　①,an+2+an+1=4(n+1)　②,由②-①得an+2-an=4,由a1=1,a1+a2=4,所以a2=3.当n为奇数时,an=a1+×4=2n-1;当n为偶数时,an=a2+×4=2n-1.综上所述,an=2n-1. 6. 【解析】 (1) 由an+1=可得a2n+1=a2n+3=2a2n-1+3,可得a2n+1+3=2(a2n-1+3),又a1+3=4,所以数列{a2n-1+3}是首项为4,公比为2的等比数列,所以a2n-1+3=4·2n-1=2n+1,即a2n-1=2n+1-3.选①时,b1=4,b2=8,bn=a2n-1+3=2n+1;选②时,b1=4,b2=8,bn=a2n+1-a2n-