高频热点4 利用递推关系求数列通项公式-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点4　利用递推关系求数列通项公式 基础巩固 1. 下列关于星星的图案构成了一个数列,该数列的一个通项公式是 (　　) (第1题图) A. an=n2-n+1 B. an= C. an= D. an= 2. 定义为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”.若已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn=,则++…+等于 (　　) A. B. C. D. 3. (多选)已知Sn是数列的前n项和,且a1=1,a2=5,an+2=2an+1+8an,则 (　　) A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. a9= D. S9= 4. 已知Sn为数列的前n项和,a1=1,an+1+2Sn=2n+1,则S2 022=　　　　.  5. (2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和.已知+n=2an+1. (1) 求证:是等差数列; (2) 若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. 6. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若bn+1=(n-2λ),b1=-λ,且数列{bn}满足bn+1>bn,求实数λ的取值范围. 综合应用 7. 已知数列的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数y=x2-10x的图象上;等差数列满足bn+bn+1=an,其前n项和为Tn.则下列结论中正确的是 (　　) A. Sn<2Tn B. b4=0 C. b5b7>0 D. T5=T6 8. (多选)已知定义:在数列{an}中,若-=p(n≥2,p为常数),则称{an}为等方差数列.下列命题中正确的有 (　　) A. 若{an}是等方差数列,则{}是等差数列 B. {(-1)n}是等方差数列 C. 若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)不可能是等方差数列 D. 若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 9. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=an+.若Sn≤nan+t恒成立,则实数t的取值范围为　　　　.  10. 已知数列中,a1=1,且an+1=an-. (1) 求数列的通项公式; (2) 记数列的前n项和为Sn,求证:Sn<. 拓广探索 11. (多选)2021年7月24日,《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》出台,这个政策就是我们所说的“双减”政策,“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象,而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词,螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”,平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线,如图①.如图②的阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案,它的画法是这样的:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第3个正方形MNPQ,依此方法一直继续下去,就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD的边长为a1,后续各正方形的边长依次为a2,a3,…,an,…;如图②阴影部分,设直角三角形AEH面积为b1,后续各直角三角形面积依次为b2,b3,…,bn,….下列说法中正确的有(　　) (第11题图) A. 从正方形ABCD开始,连续3个正方形的面积之和为 B. an=4× C. 使得不等式bn>成立的n的最大值为4 D. 数列的前n项和Sn<4 12. 给定数列,若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An是中的项,则称为“H数列”.设数列的前n项和为Sn. (1) 请写出一个数列的通项公式:  　,此时数列是“H数列”;  (2) 设既是等差数列又是“H数列”,且a1=6,a2∈N*,a2>6,求公差d的所有可能值. $$高频热点4　利用递推关系求数列通项公式 1. C　【解析】 从图中可观察星星的构成规律:n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;….所以an=1+2+3+…+n=.故选C. 2. C　【解析】 依题意有=,即前n项和Sn=n(2n+1)=2n2+n.当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,a1=3满足该式.故an=4n-1,bn==n.因为==-,所以++…+=++…+=.故选C. 3. AB　【解析】 对于选项A,由an+2=2an+1+8an,得an+2-4an+1=-2an+1+8an=-2(an+1-4an),又a2-4a1=5-4=1,所以数列是首项为1,公比为-2的等比数列,则A正确;对于选项B,由an+2=2an+1+8an,得an+2+2an+1=4an+1+8an=4(an+1+2an),又a2+2a1=5+2