高频热点3 巧用极化恒等式优化向量数量积的计算-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点3　巧用极化恒等式优化向量数量积的计算 基础巩固 1. 已知△ABC是边长为4的正三角形,P为线段AB上一点(包含端点),则·的取值范围为(　　) A. [-1,8] B. C. [0,1] D. [0,6] 2. 如图,在△ABC中,边BC的四等分点依次为D,E,F.若·=2,·=5,则AE的长为 (　　) (第2题图) A. 2 B. C. D. 3 3. 在边长为2的正方形ABCD中,P,Q在正方形内(含边),满足=x+y,则下列结论中正确的是 (　　) A. 若点P在BD上,则x+y=1 B. x+y的取值范围为[1,2] C. 若点P在BD上,则·=4 D. 若P,Q在线段BD上,且=2,则·的最小值为1 4. 在△ABC中,已知∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是BC,AC上的动点,且EF=1,则·的最小值为　　　　.  5. 已知点A,B为直线x+y-4=0上的两个动点,且AB=2.若圆C:x2+y2=1上存在一点P,使得·=7,求线段AB中点的横坐标的取值范围. 6. (1) 若向量a,b满足|2a-b|=3,求a·b的最小值; (2) 设向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,=2,求a·b的最小值. 综合应用 7. (2022·北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是 (　　) A. [-5,3] B. [-3,5] C. [-6,4] D. [-4,6]　 8. 如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条不同的直径,=2,则 (　　) A. = B. ·=- C. 若,的夹角为θ,则-<cosθ≤- D. 满足=λ+μ的实数λ与μ的和为定值4 (第8题图) 9. 已知点A,B分别在直线x=3,x=1上,|-|=4.当|+|取最小值时,·的值是　　　　.  10. 在△ABC中,AC=2BC=4,∠ACB为钝角,M,N是边AB上的两个动点,且MN=1.若·的最小值为,求cos∠ACB的值. 拓广探索 11. 已知△ABC中,AB=4,AC=2,|λ+(2-2λ)|(λ∈R)的最小值为2.若P为边AB上任意一点,则·的最小值为　　　　.  12. 在正方形ABCD中,AB=1,A,D分别在x轴、y轴的非负半轴上滑动,求·的最大值. (第12题图) $$高频热点3　巧用极化恒等式优化向量数量积的计算　 1. A　【解析】 方法1(坐标法):以AB中点O为坐标原点,,为x轴和y轴正方向可建立如图平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),C(0,2),设P(m,0)(-2≤m≤2),所以 =(2-m,0),=(-m,2),所以·=m2-2m=(m-1)2-1,则当m=1时,(·)min=-1,当m=-2时,(·)max=8,所以·的取值范围为[-1,8].故选A.方法2(极化恒等式法):取BC的中点D,·= =-=-4,因为≤PD≤2,所以·的取值范围为[-1,8]. (第1题答图) 2. C　【解析】 由极化恒等式可知·=-=2,·=-=-=5,所以AE=.故选C. 3. ACD　【解析】 当点P在BD上时,因为=x+y,所以x+y=1,故A正确;因为P在边长为2的正方形ABCD内(含边),且=x+y,所以x∈[0,1],y∈[0,1],则x+y∈[0,2],故B错误;当点P在BD上时,=x+y=x+(1-x),=+,所以·=[x+(1-x)]·(+)=x+(1-x)=4,故C正确;若点P,Q在线段BD上,且=2,如图建立平面直角坐标系, 　(第3题答图) 设P(a,2-a),则Q(a+,2--a),a∈[0,2-],所以·=(a,2-a)·(a+,2--a)=a(a+)+(2-a)(2--a)=2a2-(4-2)a+4-2=2+1,所以当a=时,·有最小值为1,故D正确.故选ACD. 4. 　【解析】 设EF的中点为M,连接CM,则=,即点M在如图的圆弧上,由极化恒等式可得,·=-=-≥-=. 　(第4题答图) 5. 【解析】 设AB的中点为M,由·=-=-2=7,所以点P的轨迹是以点M为圆心,3为半径的圆,该圆与圆C存在交点,故设点M(a,4-a),由题意2≤MO≤4,所以0≤a≤4. 6. 【解析】 (1) 根据极化恒等式,得8a·b=(2a+b)2-(2a-b)2=(2a+b)2-9≥-9,当2a=-b时取等号,故a·b≥-,所以a·b的最小值为-.　(2) 因为a·e=1,b·e=2,所以(a+b)·e=3,因为|(a+b)·e|≤|a+b|·|e|=,所以|a+b|≥3,根据极化恒等式得4a·b=(a+b)2-(a-b)2≥5,从而a·b的最小值为. 7. D