高频热点2 三角形中的范围、最值问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点2　三角形中的范围、最值问题 基础巩固 1. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=1,B=2A,则b的可能取值为(　　) A. B. 1 C. D. 2 2. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2cosC(acosB+bcosA)=c.若△ABC的面积为c,则ab的最小值为 (　　) A. B. C. D. 3. (多选)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的有(　　) A. 若a3+b3<c3,则C< B. 若ab>c2,则C> C. 若2ab>(a+b)c,则C> D. 若(a2+b2)c2<2a2b2,则C< 4. 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,A=45°.若三角形有两解,则b的取值范围是　　　　.  5. 如图,在平面四边形ABCD中,A=,点E在边AB上,BE=3,AE=CE,DE⊥CE,△BEC的面积为.记∠BEC=θ. (1) 若θ=,求线段BC的长度. (2) 当θ为何值时,线段DE的长度最小?求出该最小值. (第5题图) 6. 如图,在平面四边形ABCD中,BC⊥CD,AD=2,AC=3,sin∠ADC=. (1) 求∠ACD; (2) 若△ABC为锐角三角形,求△ABC面积的取值范围. (第6题图) 综合应用 7. 已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则角A 的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 8. (多选) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设边BC上的中点为M,△ABC的面积为S,其中a=2,b2+c2=24,则下列选项中正确的有 (　　) A. 若A=,则S=3 B. S的最大值为3 C. AM=3 D. 角A的最小值为 9. 在△ABC中,已知角A,B,C对应的边分别为a,b,c.记△ABC的面积为S,且4a2=b2+2c2,则的最大值为　　　　.  10. 如图,现要在一块半径为1,圆心角为的扇形铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上.设∠BOP=θ,平行四边形MNPQ的面积为S. (1) 求S关于θ的函数解析式; (2) 求S的最大值及相应的θ的大小. (第10题图) 拓广探索 11. 在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则的最大值为　　　　.  12. 某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于点M),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中点E,F到点M的距离均为1(百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3). (1) 在图中建立适当的平面直角坐标系,求栈道AB的方程. (2) 游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请结合(1)的坐标系,写出观测点的坐标. (第12题图) $$高频热点2　三角形中的范围、最值问题 1. C　【解析】 由正弦定理得=,因为a=1,B=2A,所以bsinA=sin2A=2sinAcosA,因为sinA≠0,所以b=2cosA,因为A+B∈(0,π),所以3A∈(0,π),所以A∈,所以cosA∈,又b=2cosA∈(1,2),即b∈(1,2).故选C. 2. C　【解析】 因为2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理边化角,可得2cosC(sinAcosB+cosAsinB)=sinC,又sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,因为C∈(0,π),sinC≠0,所以cosC=,又C∈(0,π),所以C=.又S△ABC=c=absinC=ab,所以c=3ab,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,所以9a2b2=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号,所以ab≥,则ab的最小值为.故选C. 3. AD　【解析】 对于A,若C≥,则c2≥a2+b2,则c3≥ca2+cb2>a3+b3,所以A正确;对于B,由ab>c2得cosC=>=,所以C<,故B不正确;对于C,取a=b=2,c=1,满足2ab>(a+b)c,利用余弦定理得C<<,故C不正确;对于D,因为2abc2≤(a2+b2)c2<2a2b2,所以有c2<ab,即cosC=>=,所以C<,故D正确.故选AD. 4. (2,2)　【解析】 如图,△ABC有两解