高频热点28 数学模型的应用问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点28　数学模型的应用问题 基础巩固 1. 瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据,利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程:k=A,其中k为化学反应速率常数,R为摩尔气体常量,T为热力学温度,Ea为表观活化能,A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反应,当热力学温度分别为T1和T2时,反应速率常数分别为k1和k2(此过程中R与Ea的值保持不变),经计算-=M,若T2=2T1,则ln等于 (　　) A. B. M C. D. 2M 2. 莱洛三角形是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形,转子发动机(图①)的设计就是利用了莱洛三角形,转子引擎只需转一周,各转子便有一次进气、压缩、点火与排气的过程,相当于往复式引擎运转两周,因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点.另外,由于转子引擎的轴向运动特性,它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速.莱洛三角形是分别以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形(图②).设莱洛三角形曲边上两点之间的最大距离为4,则该莱洛三角形的面积为 (　　) (第2题图) A. 8π-8 B. 8π-4 C. 16π-8 D. 16π-4 3. (多选)筒车(图①)是我国古代发明的一种灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画(图②)描绘了筒车的工作原理.现有一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈,筒车的轴心距离水面的高度为2 m,设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻,经过t s后,下列选项中正确的有 (　　) (第3题图) A. d=2-3sin,其中sinθ=,且θ∈ B. d=2+3sin,其中sinθ=,且θ∈ C. 当t≈38时,盛水筒P再次进入水中 D. 当t≈22时,盛水筒P到达最高点 4. “天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,“天问一号”探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,“天问一号”探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”,同时将近火点高度调整至约265 km.若此时远火点高度约为11 945 km,火星半径约为3 400 km,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为　　　　.(精确到0.1)  5. 一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元,假设该企业每个月可生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为(4-x)万元,且每生产1万件地方给予补助万元. (1) 求该企业的月利润L(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式; (2) 当月产量x∈[1,6]万件时,求企业生产这种小型产品所获得的月利润最大值及此时的月生产量. (注:月利润=月销售收入+月地方补助-月总成本) 6. 某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本. 已知购买x台机器人的总成本(单位:万元)为p(x)=x2+x+150. (1) 要使每台机器人的平均成本最低,应买多少台? (2) 现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,如图.由实验知,每台机器人的日平均分拣量为q(m)=(单位:件).已知传统的人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,则引进机器人后,日平均分拣量达最大时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几? (第6题图) 综合应用 7. 如图①,某家用电暖气由反射面、热馈源、防护罩及支架组成,为了更好利用热效能,反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面),热馈源安装在抛物线的焦点处,圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图②是该电暖气的轴截面,防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离.已知口径长为40 cm,防护罩宽为15 cm,则顶点O到防护罩外端CD的距离为 (　　) (第7题图) A. 25 cm B. 30 cm C. 35 cm D. 40 cm 8. (多选)我国新时代的能源发展,把清洁低碳作为能源发展的主导方向,优化能源生产布局和消费结构,基本形成了原煤、原油、天然气、非化石能源多轮驱动的能源生产体系.如图为2012年至2019年中国能源生产情况统计图,则(　　) (第8题图) A. 原煤在能源生产体系中所占比重最大,是保障能源供应的基础能源 B. 各类能源的生产量在2