高频热点20 构造函数证明不等式-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点20　构造函数证明不等式 基础巩固 1. 函数的定义域为R,f(2)=-1,对任意x∈R,f'(x)<-1,则f(x)>1-x的解集为 (　　) A. (-∞,2) B. (2,+∞) C. (-1,1) D. (1,+∞) 2. 已知定义在R上的函数f(x),其导数为f'(x).若f(x)=f(-x)-2sinx,且当x≥0时,f'(x)+cosx>0,则不等式f>f(x)+sinx-cosx的解集为 (　　) A. B. C. D. 3. (多选)已知函数f(x)的导数为f'(x),若f(x)≤xf'(x)<2f(x)-x对x∈(0,+∞)恒成立,则下列不等式中,一定成立的是 (　　) A. f(1)> B. f(1)< C. f(1)<+ D. +<f(1) 4. 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)<1-f'(x),f(0)=4,则不等式f(x)<1+的解集为　　　　.  5. 已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线. (1) 求a,b的值; (2) 求证:f(x)≤g(x). 6. 已知f(x)=ksinx+2x. (1) 当k=2时,判断函数f(x)零点的个数; (2) 求证:2x-sinx>ln(x+1),x∈. 综合应用 7. 已知两个不等的正实数x,y满足ln=,则下列结论中一定正确的是 (　　) A. x+y=1 B. xy=1 C. x+y>2 D. x+y>3 8. (多选)已知函数f(x)=xlnx,若0<x1<x2,则下列结论中正确的有 (　　) A. x2f(x1)<x1f(x2) B. x1+f(x1)<x2+f(x2) C. <0 D. 当lnx>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1) 9. 已知x>1,y>1,且x(e1+y+1)=(1+y)ex,则ln(x-y)　　　　0.(填“>”“<”或“=”)  10. 已知函数f(x)=alnx+x. (1) 讨论f(x)的单调性; (2) 当a=1时,求证:xf(x)<ex. 拓广探索 11. 若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是 (　　) A. ex≤1+x+x2 B. ≤1-x+x2 C. cosx≥1-x2 D. ln(1+x)≥x-x2 12. 已知函数f(x)=axlnx(a≠0),f'(x)为f(x)的导数. (1) 若函数g(x)=f'(x)+有两个极值点,求实数a的取值范围; (2) 当a=1时,求证:f(x)<ex+sinx-1. $$高频热点20　构造函数证明不等式 1. A　【解析】 令g(x)=f(x)+x,因为对任意x∈R,f'(x)<-1,所以g'(x)=f'(x)+1<0,即g(x)在R上单调递减,又因为f(2)=-1,所以g(2)=f(2)+2=1,由f(x)>1-x,可得f(x)+x>1,即g(x)>g(2),所以x<2,即不等式f(x)>1-x的解集为x∈(-∞,2).故选A. 2. D　【解析】 构造g(x)=f(x)+sinx,则g(-x)=f(-x)+sin(-x)=f(-x)-sinx,又由f(x)=f(-x)-2sinx,所以f(x)+sinx=f(-x)-sinx.故g(x)=g(-x),即g(x)为定义在R上的偶函数;当x≥0时,g'(x)=f'(x)+cosx>0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,由f+cosx=f+sin>f(x)+sinx,即g>g(x),所以>|x|,解得x>-,所以不等式f>f(x)+sinx-cosx的解集为.故选D. 3. BD　【解析】 设g(x)=,h(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)==,h'(x)=.因为f(x)<xf'(x)<2f(x)-x对x∈(0,+∞)恒成立,所以g'(x)<0,h'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,h(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(1)>g(2),h(1)<h(2),即>,<,即+<f(1)<.故选BD. 4. (0,+∞)　【解析】 由f(x)<1+得exf(x)<ex+3,即exf(x)-ex-3<0,令F(x)=exf(x)-ex-3,则F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1],因为f(x)<1-f'(x),即f(x)+f'(x)-1<0,且ex>0,所以F'(x)<0,故函数F(x)在R上单调递减,由F(0)=e0f(0)-e0-3=4-1-3=0,故F(x)<F(0)=0,即f(x)<1+的解集是(0,+∞). 5. 【解析】 (1) f'(x)=,g'(x)=b-x+x2,由题意得解得a=0,