高频热点19 常见函数切线放缩的应用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点19　常见函数切线放缩的应用 基础巩固 1. 若方程ax-x=0(a>1)有两个不等的实数根,则实数a的取值范围是 (　　) A. (,+∞) B. (1,) C. (,e) D. (1,e) 2. 已知函数f(x)=ex+x3-x2,若对于任意实数x,恒有f'(x)≥3x2+ax+b,则ab+b的最大值是 (　　) A. B. C. D. e 3. (多选)已知不等式ex≥x+1对任意x∈R恒成立,则下列命题中真命题是 (　　) A. 对任意x∈R,不等式e-x≥1-x恒成立 B. 对任意x∈(0,+∞),不等式ln(x+1)<x恒成立 C. 对任意x∈(0,+∞),不等式lnx<x-1恒成立 D. 对任意x∈(0,+∞),且x≠1,不等式+>恒成立 4. 若x,y是实数,e是自然对数的底数,ex+y-2≤ln(x-y+1)+2y-1,则2x+3y=　　　　.  5. 已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,当x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围. 6. 已知函数f(x)=xlnx+ax+1,a∈R. (1) 当x>0时,若关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围; (2) 当x∈(1,+∞)时,求证:<lnx<x2-x. 综合应用 7. 已知x(e2x-a)≥lnx+1对任意正数x恒成立,则实数a的最大值为 (　　) A. B. 1 C. 2 D. e 8. (多选)若存在实数k和b,使函数f(x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b恒成立,则称直线y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=,则下列直线为f(x)与g(x)的“隔离直线”的是 (　　) A. y=x B. y=x C. y=x+1 D. y=x-1 9. “以直代曲”是微积分中基本、朴素的思想方法,如在切点附近,可用曲线在该点处的切线近似代替曲线.曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程为　　　　.利用上述“切线近似代替曲线”的思想方法计算所得结果为　　　　(结果用分数表示).  10. 已知函数f(x)=. (1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 求证:当x>0时,恒有f'(x)ln(x+1)<+. 拓广探索 11. 已知实数a,b,c满足ea+c+e2b-c-1≤a+2b+1,则a2+b2的最小值是　　　　.  12. 已知函数f(x)=(x+1)(ex-1),若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,求证:x2-x1≤1+. $$高频热点19　常见函数切线放缩的应用 1. B　【解析】 若ax-x=0(a>1)有两解,则lna=(a>1)有两解,令g(x)=,易得g(x)在(0,e)上单调递增,(e,+∞)上单调递减,欲使lna=g(x)(a>1)有两解,则1<a<eg(e)=,故选B. 2. C　【解析】 由f'(x)≥3x2+ax+b,得ex+3x2-x≥3x2+ax+b,即对任意x∈R,ex≥(a+1)x+b恒成立.设f(x)=ex,g(x)=(a+1)x+b,则当g(x)与f(x)相切时,可使ab+b最大.设切点为(t,et),则有所以ab+b=(1-t)e2t,设h(t)=(1-t)e2t,易求得h(t)=(1-t)e2t的最大值为,所以ab+b的最大值是.故选C. 3. ABD　【解析】 对于A选项,由于不等式ex≥x+1对∀x∈R恒成立,所以e-x≥-x+1恒成立,所以A正确;对于B选项,由于不等式ex≥x+1对∀x∈R恒成立,所以lnex≥ln(x+1)对∀x∈(0,+∞)恒成立,注意到lne0=ln(0+1),所以ln(x+1)<x对∀x∈(0,+∞)恒成立,B正确;当x=1时,ln1=1-1,所以C选项错误;对于D选项,对∀x∈(0,+∞),且x≠1,不等式+>恒成立,等价于lnx-<0,即>lnx,下证此不等式对∀x∈(0,+∞),且x≠1恒成立.当0<x<1时,>lnx⇔<lnx,令h(x)=-lnx,h'(x)=>0,所以h(x)在区间(0,1)上递增,h(x)<h(1)=0,所以<lnx,即>lnx成立.当x>1时,>lnx⇔>lnx,令h(x)=-lnx,h'(x)=>0,所以h(x)在区间(1,+∞)上递增,h(x)>h(1)=0,所以>lnx,即>lnx(证毕).所以D选项正确.故选ABD. 4. 5　【解析】 令f(x)=lnx-x+1,利用导数可证lnx≤x-1,则有ln(x-y+1)≤x-y,当x=y时,等号成立.不等式化为ex+y-2≤x+y-1,令g(x)=ex-x-1,利用导数可得ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立,即ex+y-2≥x+y-1,故ex+