高频热点18 多元变量的大小比较问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点18　多元变量的大小比较问题 基础巩固 1. 定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”.若函数g(x)=2x,φ(x)=x3-1的“新驻点”分别为α,β,则α,β的大小关系为 (　　) A. α≥β B. α>β C. a≤β D. α<β 2. 已知x∈(0,1),令a=logx3,b=sinx,c=2x,那么a,b,c之间的大小关系为 (　　) A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b 3. (多选)下列不等式成立的是 (　　) A. 2ln<ln2 B. ln<ln C. 5ln4<4ln5 D. π>elnπ 4. 已知a=,b=cos,c=4sin,则a,b,c的大小关系是　　　　.  5. 已知a>b>0,ab=1,设x=,y=log2(a+b),z=a+,试比较logx2x,logy2y,logz2z的大小关系. 6. (2021·全国Ⅰ卷改编)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,求证:0<b<ea. 综合应用 7. (2021·全国乙卷)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,则 (　　) A. a<b<c B. b<c<a C. b<a<c D. c<a<b 8. (多选)若0<x1<x2<1,则 (　　) A. x1+lnx2>x2+lnx1 B. x1+lnx2<x2+lnx1 C. x2>x1 D. x2<x1 9. 已知a,b,c∈(0,1),且a2-2lna+1=e,b2-2lnb+2=e2,c2-2lnc+3=e3,其中e是自然对数的底数,则a,b,c的大小关系是　　　　.  10. 已知a>1,b>1,且满足a2-3b=2lna-ln4b,求证:a2>2b. 拓广探索 11. (多选)已知函数f(x)=lnx-ax有两个零点x1,x2,且x1<x2,则下列说法中正确的有 (　　) A. a∈ B. y=f(x)在(0,e)上单调递增 C. x1+x2>6 D. 若a∈,则x2-x1< 12. 设函数y=f(x)的定义域为D,若存在正常数k,使得对任意x∈D,等式f(kx)=+f(x) 恒成立,则称函数y=f(x)具有性质P(k). (1) 函数f(x)=log2x是否具有性质P(k)?若具有,请给出k的一个值;若不具有,请说明理由. (2) 设1<a<,函数g(x)=logax. ① 试比较g与的大小关系; ② 求证:函数g(x)=logax具有性质P(k). $$高频热点18　多元变量的大小比较问题 1. D　【解析】 由题知,g'(x)=2,φ'(x)=3x2,由“新驻点”的概念知,2α=2,β3-1=3β2,则α=1,β=3+>3>α,故选D. 2. A　【解析】 因为x∈(0,1),则a=logx3,为单调递减函数,所以a<0,因为>1,且b=sinx,在为单调递增函数,所以b=sinx在x∈(0,1)为单调递增函数,所以0<b<sin1<1,因为x∈(0,1),c=2x为单调递增函数,所以20<c<21,即1<c<2,所以a<b<c.故选A. 3. AD　【解析】 设f(x)=(x>0),则f'(x)=,所以当0<x<e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因为<2<e,所以f <f(2),即2ln<ln2,故选项A正确;因为<<e,所以f()<f(),即ln>ln,故选项B不正确;因为e<4<5,所以f(4)>f(5),即5ln4>4ln5,故选项C不正确;因为e<π,所以f(e)>f(π),即π>elnπ,故选项D正确.所以选AD. 4. c>b>a　【解析】 因为=4tan,因为当x∈,sinx<x<tanx,所以tan>,即>1,所以c>b;设f(x)=cosx+x2-1,x∈(0,+∞),f'(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,则f>f(0)=0,所以cos->0,所以b>a,所以c>b>a. 5. 【解析】 因为a>b>0,ab=1,所以可得a=,且a>1>b>0,所以x==<,由题意y=log2(a+b)>log22=log22=1,z=a+=a+a=2a>2,又z-y=2a-log2(a+b)=f(a)(a>1),f'(a)=2->0,f(a)单调递增,所以f(a)>f(1)=2-lo>0,所以z-y>0,所以0<x<1<y<z,因为logx2x=logx2+1,logy2y=logy2+1,logz2z=logz2+1,根据对数函数性质可得logx2<logz2<logy2,所以logy2y>logz2z>logx2x. 6. 【解析】 在曲线y=ex上任取一点P(t,e